Seja X sim Exp(lambda), lambda>0. Obtenha a densidade de Y=c X, onde c>0.

Passo 1

Então, o exercício diz que temos uma variável aleatória X com distribuição Exponencial de parâmetro λ>0, ou seja
fY(y) ;=; fXl(x(y)r),l|tfracdxdyr| .
A gente quer achar a densidade de , com .
Conteúdo: transformações de variáveis contínuas e densidade de probabilidade.
O que vamos usar: a regra de mudança de variável para PDFs, que manda usar
quando é uma função monótona e .

Passo 2

Primeiro, relembrando a densidade de fX(x) ;=; lambda ,e^-lambda x,& x>=0, 0,& x<0 :
x = g^-1(y) ;=; y c
Nossa transformação é dxdy ;=;ddyl(tfrac y cr) ;=;1c . Como , é estritamente crescente e a inversa é
Aí precisamos também da derivada :

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula do PDF transformado:
fY(y) ;=; fXl(x(y)r);l|tfracdxdyr| ;=; fX!l(tfrac y cr);times;1c
Como fY(y) =;lambda exp!l(-lambdatfrac y cr);times;1c =;lambdac,exp!l(-lambdac,yr), para , substituímos :
válido sempre que , ou seja . Para , a densidade é zero.

Resposta

boxed fY(y) = lambdac,exp!l(-tfraclambdac,yr),&y>=0, 0,&y<0
Em outras palavras, .

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