1. Seja X uma v.a. contínua distribuída uniformemente com média \mu=1 \mathrm{e} variância \sigma^{2}=\frac{4}{3}. Calcular P(X<0).
\text { R. } A=-1 \text { e } B=3, P(X<0)=\frac{1}{4}

Passo 1

O enunciado diz que X é uma v.a. contínua com distribuição uniforme em [a,b], cuja média é \mu=1 e variância é \sigma^2=\tfrac{4}{3}. Preciso encontrar P(X<0). Para isso, vou usar as fórmulas de média e variância da uniforme e depois calcular a probabilidade geométrica no intervalo.

Passo 2

As fórmulas para uma v.a. uniforme em [a,b] são:
\mu = \frac{a+b}{2}
\sigma^2 = \frac{(b-a)^2}{12}

Passo 3

Substituindo \mu=1 na primeira fórmula:
\frac{a+b}{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad a + b = 2.
Substituindo \sigma^2=\tfrac{4}{3} na segunda:
\frac{(b-a)^2}{12} = \frac{4}{3} \quad\Longrightarrow\quad (b - a)^2 = 16 \quad\Longrightarrow\quad b - a = 4,
pois escolhemos a raiz positiva para que b>a.

Passo 4

Agora resolvemos o sistema
a + b = 2, \qquad b - a = 4.
Somando as duas equações:
2b = 6 \quad\Longrightarrow\quad b = 3.
Substituindo em a+b=2:
a = 2 - 3 = -1.
Logo, X\sim \mathrm{Uniforme}(-1,3).

Passo 5

Para uma uniforme em [a,b]=[-1,3], a probabilidade P(X<0) é a razão do comprimento do subintervalo [-1,0] pelo comprimento total 4:
P(X<0) = \frac{0 - (-1)}{3 - (-1)} = \frac{1}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}

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