Seja X uma variável aleatória contínua com f.d.p dada por: \mathrm{f}(\mathrm{x})=2 x e^{-x^{2}} \mathrm{x}>0.
a) Encontre a f.d.p. da v.a.c Y=X^{2}
b) Qual a distribuição de Y ?
Passo 1
Enunciado e o que se pede.
Temos uma variável aleatória contínua X com densidade dada por
\mathrm{f}(x)=2x e^{-x^{2}},\quad x>0.
Define-se Y=X^{2}. O problema pede:
a) Encontrar a densidade de probabilidade (f.d.p.) de Y.
b) Identificar a distribuição de Y.
Passo 2
Entender o que vamos usar (sem entrar ainda em cálculos).
Quando Y=g(X) é uma transformação monótona e diferenciável de X, existe uma fórmula direta para obter a densidade de Y: se h é a inversa de g (ou seja h=g^{-1}), então
Aqui a transformação é g(x)=x^{2} restrita a x>0, que é monótona estritamente crescente em x>0. Portanto podemos aplicar essa fórmula com segurança. Vou explicar passo a passo o porquê dessa fórmula e depois aplicá-la ao caso.
Passo 3
Explicando didaticamente a fórmula de mudança de variável (motivo pelo qual funciona).
Intuição: para y fixo, valores de Y próximos de y correspondem a valores de X próximos de h(y). Se h é suave, um pequeno incremento \Delta y corresponde a um incremento \Delta x \approx h'(y)\,\Delta y. Como densidade é “probabilidade por unidade de y”, a densidade em y é a densidade em x multiplicada pelo fator de escala |dx/dy|=|h'(y)|. Isso é análogo ao uso do jacobiano em integrais de mudança de variável. Portanto a fórmula é razoável e válida quando a transformação é monotônica e diferenciável.
Passo 4
Aplicando a fórmula: encontrar a inversa e sua derivada.
Temos y=x^{2} com domínio x>0. A inversa é
x=h(y)=\sqrt{y},\quad y>0.
Derivando h em relação a y:
h'(y)=\frac{d}{dy}\sqrt{y}=\frac{1}{2\sqrt{y}}.
Passo 5
Calcular a densidade de Y usando a fórmula.
Aplique a fórmula \text{f}_Y(y)=\text{f}_X\big(h(y)\big)\,|h'(y)|. Substituindo \text{f}_X(x)=2x e^{-x^{2}}, h(y)=\sqrt{y} e h'(y)=1/(2\sqrt{y}), obtemos, para y>0,
Agora simplificamos passo a passo: (\sqrt{y})^{2}=y, e os fatores 2\sqrt{y} e 1/(2\sqrt{y}) se cancelam. Logo
\text{f}_Y(y)=e^{-y},\quad y>0.
Passo 6
Verificação alternativa via função de distribuição acumulada (F.d.a.).
Outra forma didática é calcular F_Y(y)=\mathbb{P}(Y\le y)=\mathbb{P}(X^{2}\le y). Como X>0,
Identificando a distribuição de Y e propriedades importantes.
A densidade \text{f}_Y(y)=e^{-y} para y>0 é exatamente a densidade da distribuição Exponencial com parâmetro (taxa) \lambda=1. Em notação padrão: Y\sim\text{Exponencial}(\lambda=1). Propriedades rápidas (úteis na prova): média \mathbb{E}[Y]=1/\lambda=1 e variância \operatorname{Var}(Y)=1/\lambda^{2}=1.
Resposta
a) \text{f}_Y(y)=e^{-y},\quad y>0.
b) Y tem distribuição Exponencial com parâmetro \lambda=1 (ou seja, Y\sim\text{Exp}(1)).