Seja uma variável aleatória discreta assumindo os valores
e com função de probabilidade
Um jogador aposta em um número de 1 a 6. Três dados são então lançados, se o número apostado sair vezes, , então o jogador ganha unidades, se o número apostado sair 3 vezes o jogador ganha unidades; se o número apostado não sair em nenhum dos dados, então o jogador perde 1 unidade. Determine o menor valor de (inteiro) de modo que o jogo seja vantajoso para o jogador.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício pede. A gente tem um jogo em que o jogador escolhe um número de 1 a 6 e joga três dados. Se o número sair 0 vezes ele perde 1, se sair 1 vez ganha 1, 2 vezes ganha 2 e se sair 3 vezes ganha unidades. Precisamos achar o menor que faça o jogo ser vantajoso ao jogador. O conteúdo principal aqui é cálculo de valor esperado de uma variável aleatória discreta, usando a distribuição binomial.
Passo 2
Primeiro, note que o número de vezes que a face aparece em 3 lançamentos de dado segue uma distribuição binomial . Então
para .
Passo 3
Vamos calcular cada probabilidade:
.
.
.
.
Passo 4
Agora montamos o ganho em função de :
O valor esperado é
Substituindo os números:
Passo 5
Para o jogo ser vantajoso, queremos alpha - 20216 ;>=; 0 Longrightarrow alpha ;-;20 ;>=;0 Longrightarrow alpha ;>=;20 . Logo
O menor inteiro que satisfaz isso é .
Resposta
O menor valor inteiro de que torna o jogo vantajoso é 20.