Seja X uma variável aleatória discreta assumindo os valores
x1, x2, ldots, xn, ldots
e com função de probabilidade
p(xi)=P(X=xi)
Um jogador aposta em um número de 1 a 6. Três dados são então lançados, se o número apostado sair i vezes, i=1,2, então o jogador ganha i unidades, se o número apostado sair 3 vezes o jogador ganha alpha unidades; se o número apostado não sair em nenhum dos dados, então o jogador perde 1 unidade. Determine o menor valor de alpha (inteiro) de modo que o jogo seja vantajoso para o jogador.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede. A gente tem um jogo em que o jogador escolhe um número de 1 a 6 e joga três dados. Se o número sair 0 vezes ele perde 1, se sair 1 vez ganha 1, 2 vezes ganha 2 e se sair 3 vezes ganha unidades. Precisamos achar o menor que faça o jogo ser vantajoso ao jogador. O conteúdo principal aqui é cálculo de valor esperado de uma variável aleatória discreta, usando a distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, note que o número de vezes que a face aparece em 3 lançamentos de dado segue uma distribuição binomial P(X=k) ;=; binom3kl(tfrac16r)^kl(tfrac56r)^3-k, . Então
para .

Passo 3

Vamos calcular cada probabilidade:
  • .
  • .
  • .
  • .

Passo 4

Agora montamos o ganho G = -1, & X=0, 1, & X=1, 2, & X=2, alpha, & X=3 em função de E[G] = (-1),P(X=0) ;+;1cdot P(X=1);+;2cdot P(X=2);+;alphacdot P(X=3) :
E[G] = -1cdottfrac125216 + 1cdottfrac75216 + 2cdottfrac15216 + alphacdottfrac1216 = -125 + 75 + 30 + alpha216 = alpha - 20216
O valor esperado é
Substituindo os números:

Passo 5

Para o jogo ser vantajoso, queremos alpha - 20216 ;>=; 0 Longrightarrow alpha ;-;20 ;>=;0 Longrightarrow alpha ;>=;20 . Logo
O menor inteiro que satisfaz isso é .

Resposta

O menor valor inteiro de que torna o jogo vantajoso é 20.

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