Seja 
  a variável aleatória número de flores por planta envasada, cuja distribuição de probabilidades é dada pela tabela 1. Calcule
(a) A moda do número de flores por planta, o número médio 
 .
(b) Calcule a variância e o desvio-padrão, isto é, 
  e 
 .
(a) A moda do número de flores por planta, o número médio
(b) Calcule a variância e o desvio-padrão, isto é,
| 
 | 
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 
|---|---|---|---|---|---|
| 
 | 
0,2 | 0,4 | 0,2 | 0,1 | 0,1 | 
Tabela 1: Número de flores por planta envasada
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma variável aleatória 
 , que representa o número de flores por planta envasada. A gente tem uma tabela que mostra as probabilidades de cada número de flores (de 0 a 4). Hoje, vamos calcular várias coisas sobre essa variável: a moda, a média, a média do quadrado, e umas expectativas de funções da 
 . Além disso, também vamos ver a variância e o desvio-padrão de 
 . Para isso, vamos precisar usar conceitos de estatística básica como média, variância e moda.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a moda da variável 
 . A moda é o valor que ocorre com maior frequência na distribuição de probabilidade. Olhando a tabela:
| 
 | 
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 
|---|---|---|---|---|---|
| 
 | 
0,2 | 0,4 | 0,2 | 0,1 | 0,1 | 
Vemos que a probabilidade mais alta é 0,4, que corresponde a 
 . Então, a moda é 1.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor médio ou a esperança matemática 
 . A fórmula para isso é:
Vamos multiplicar cada valor de 
  pela sua probabilidade e somar tudo:
Então, 
 .
Passo 4
Vamos calcular agora 
 , que é a esperança do quadrado de 
 . A fórmula é:
Calculando:
Portanto, 
 .
Passo 5
Agora, vamos calcular 
 . Sabemos que a esperança é uma operação linear, ou seja:
Já calculamos 
 , então:
Passo 6
Vamos calcular também 
 . Novamente, usando a propriedade da linearidade:
Com 
 :
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b). Primeiro, vamos calcular a variância 
 . A fórmula para a variância é:
Já sabemos que 
  e 
 :
Passo 8
Por fim, o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:
Resposta
(a) A moda de 
  é 1; 
 ; 
 ; 
 ; 
 .
(b) A variância  e o desvio-padrão é aproximadamente 
 .
(b) A variância