Seja
, onde
é uma variável aleatória que assume um número finito de valores. Qual ou quais das seguintes afirmações são verdadeiras?
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma variável aleatória discreta finita
e definimos outra variável
. A pergunta é: será que a entropia de
é igual à entropia de
?
Conteúdo: entropia de variáveis aleatórias discretas e como ela se comporta sob transformações.
O que vamos precisar:
• Definição de entropia .
• Como obter a função massa de probabilidade de em função da de
.
• O fato de ser uma bijeção quando
assume valores distintos.
Conteúdo: entropia de variáveis aleatórias discretas e como ela se comporta sob transformações.
O que vamos precisar:
• Definição de entropia
• Como obter a função massa de probabilidade de
• O fato de
Passo 2
Primeiro, lembra a definição de entropia de uma variável discreta
:
Aqui
. A entropia mede a “incerteza” ou “surpresa média” de
.
Passo 3
Agora vamos achar a distribuição de
. Para cada valor
possível de
,
Mas como a função
é injetora (cada
gera um
único), temos só um termo na soma. Se
,
Passo 4
Vamos escrever
usando essa distribuição:
Substituindo
,
Ou seja, a entropia não muda quando você faz uma bijeção nos valores da variável.
Resposta
A afirmação “
” é verdadeira.