Seja y(x) solução da EDO y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0, onde b, c \in \mathbb{R}. Mostre que k y(x) também é solução para todo k \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá que y(x) é solução da equação diferencial ordinária
y'' + b y' + c y = 0,
onde b,c\in\mathbb{R}. Pede-se para mostrar que, para qualquer constante k\in\mathbb{R}, a função k\,y(x) também é solução da mesma equação. Informações relevantes fornecidas:
  • y(x) satisfaz \;y''(x)+b\,y'(x)+c\,y(x)=0.\n
  • k é uma constante real qualquer.

Passo 2

Lembremos uma propriedade básica de derivadas que vamos usar: a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função. Ou seja, para k constante e y(x) diferenciável vale
\frac{d}{dx}\big(k\,y(x)\big)=k\,y'(x).
Explicando por que isso é verdade: a definição de derivada envolve um limite linear e a constante sai do limite por propriedades de limites, dando exatamente k\,y'(x). Não é necessário saber mais profundo aqui, basta aceitar essa regra padrão das derivadas.

Passo 3

Aplicando a mesma ideia ao segundo derivado, obtemos
\frac{d^2}{dx^2}\big(k\,y(x)\big)=\frac{d}{dx}\big(k\,y'(x)\big)=k\,y''(x).
Portanto temos as duas identidades úteis:
(k\,y)' = k\,y',\qquad (k\,y)'' = k\,y''.

Passo 4

Agora substituímos k\,y(x) na equação diferencial. Calculamos o operador linear aplicado a k\,y:
(k\,y)'' + b\,(k\,y)' + c\,(k\,y).
Usando as identidades do passo anterior e o fato de que b e c são constantes (portanto podem ser fatoradas), obtemos
k\,y'' + b\,k\,y' + c\,k\,y = k\big(y'' + b\,y' + c\,y\big).
Aqui usamos a distributividade e a associatividade da multiplicação de números reais para agrupar o fator k.

Passo 5

Como y(x) é solução dada, sabe-se que \;y'' + b\,y' + c\,y = 0. Substituindo isso na expressão do passo anterior, vem
k\big(y'' + b\,y' + c\,y\big) = k\cdot 0 = 0.
Portanto
(k\,y)'' + b\,(k\,y)' + c\,(k\,y) = 0,
ou seja, k\,y(x) satisfaz a mesma equação diferencial.

Passo 6

Observações e exemplo rápido para consolidar a intuição: o argumento acima usa apenas linearidade — o operador L dado por
L[z]=z''+b\,z'+c\,z
é linear, logo L[k\,y]=k\,L[y]. Assim sempre que L[y]=0 então L[k\,y]=0. Exemplo concreto: se y(x)=e^{r x} com r tal que r^2+b r+c=0, então
L[k\,e^{r x}]=k\big(r^2+b r+c\big)e^{r x}=0,
confirmando o resultado.

Resposta

k\,y(x) é solução da equação y''+b\,y'+c\,y=0 para todo k\in\mathbb{R}.