Seja
solução da EDO
, onde
. Mostre que
também é solução para todo
.
Passo 1
O enunciado dá que
é solução da equação diferencial ordinária
onde
. Pede-se para mostrar que, para qualquer constante
, a função
também é solução da mesma equação. Informações relevantes fornecidas:
-
satisfaz .\n -
é uma constante real qualquer.
Passo 2
Lembremos uma propriedade básica de derivadas que vamos usar: a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função. Ou seja, para
constante e
diferenciável vale
Explicando por que isso é verdade: a definição de derivada envolve um limite linear e a constante sai do limite por propriedades de limites, dando exatamente
. Não é necessário saber mais profundo aqui, basta aceitar essa regra padrão das derivadas.
Passo 3
Aplicando a mesma ideia ao segundo derivado, obtemos
Portanto temos as duas identidades úteis:
Passo 4
Agora substituímos
na equação diferencial. Calculamos o operador linear aplicado a
:
Usando as identidades do passo anterior e o fato de que
e
são constantes (portanto podem ser fatoradas), obtemos
Aqui usamos a distributividade e a associatividade da multiplicação de números reais para agrupar o fator
.
Passo 5
Como
é solução dada, sabe-se que
. Substituindo isso na expressão do passo anterior, vem
Portanto
ou seja,
satisfaz a mesma equação diferencial.
Passo 6
Observações e exemplo rápido para consolidar a intuição: o argumento acima usa apenas linearidade — o operador
dado por
é linear, logo
. Assim sempre que
então
. Exemplo concreto: se
com
tal que
, então
confirmando o resultado.