Seja z=f(x, y)=x^{2}+y^{2}. Determine a equação da reta tangente à interseção do gráfico de f com o plano de equação y=2, no ponto (2,2,8).
Passo 1
O enunciado dá a função z=f(x,y)=x^{2}+y^{2}, o plano de equação y=2 e o ponto (2,2,8). Pede-se: determinar a equação da reta tangente à curva obtida pela interseção do gráfico de f com o plano y=2, no ponto (2,2,8).
Estratégia escolhida (explicando por que): a interseção entre a superfície e o plano é uma curva no espaço. A maneira mais direta de encontrar a reta tangente a essa curva num ponto é parametrizar a curva (usar uma variável livre) e calcular a derivada vetorial da parametrização naquele ponto — essa derivada dá o vetor direção da reta tangente. Escolhi parametrizar por x porque o plano já fixa y como constante (y=2), então fica simples.
Passo 3
Construindo a parametrização da curva de interseção: como y=2 em toda a curva, substituímos na superfície para obter z em função de x:
z = x^{2} + 2^{2} = x^{2} + 4.
Logo a curva pode ser parametrizada por x (vou chamar o parâmetro de t) como
Isto representa cada ponto da curva quando t varia.
Passo 4
Entendendo o que é o vetor tangente: para uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t), o vetor velocidade \mathbf{r}'(t) é tangente à curva em cada ponto. Portanto calculemos a derivada componente a componente. Derivando \mathbf{r}(t)=\bigl(t,\,2,\,t^{2}+4\bigr) em relação a t temos
\mathbf{r}'(t)=\bigl(1,\,0,\,2t\bigr).
Expliquei: a derivada de t é 1; de 2 é 0 (constante); e de t^{2}+4 é 2t.
Passo 5
Avaliar o vetor tangente no ponto pedido: o ponto (2,2,8) corresponde a t=2 (porque substituindo t=2 em \mathbf{r}(t) obtemos (2,2,8)). Avaliando \mathbf{r}'(t) em t=2 obtemos