Seja z=f(x, y)=x^{2}+y^{2}. Determine a equação da reta tangente à interseção do gráfico de f com o plano de equação y=2, no ponto (2,2,8).

Passo 1

O enunciado dá a função z=f(x,y)=x^{2}+y^{2}, o plano de equação y=2 e o ponto (2,2,8). Pede-se: determinar a equação da reta tangente à curva obtida pela interseção do gráfico de f com o plano y=2, no ponto (2,2,8).
Informações relevantes:
\begin{aligned} &\text{Superfície: } z=x^{2}+y^{2},\\\ &\text{Plano: } y=2,\\\ &\text{Ponto de tangência: } (2,2,8). \end{aligned}íê

Passo 2

Estratégia escolhida (explicando por que): a interseção entre a superfície e o plano é uma curva no espaço. A maneira mais direta de encontrar a reta tangente a essa curva num ponto é parametrizar a curva (usar uma variável livre) e calcular a derivada vetorial da parametrização naquele ponto — essa derivada dá o vetor direção da reta tangente. Escolhi parametrizar por x porque o plano já fixa y como constante ( y=2), então fica simples.

Passo 3

Construindo a parametrização da curva de interseção: como y=2 em toda a curva, substituímos na superfície para obter z em função de x:
z = x^{2} + 2^{2} = x^{2} + 4.
Logo a curva pode ser parametrizada por x (vou chamar o parâmetro de t) como
\mathbf{r}(t) = \bigl(x(t),\,y(t),\,z(t)\bigr) = \bigl(t,\,2,\,t^{2}+4\bigr).
Isto representa cada ponto da curva quando t varia.

Passo 4

Entendendo o que é o vetor tangente: para uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t), o vetor velocidade \mathbf{r}'(t) é tangente à curva em cada ponto. Portanto calculemos a derivada componente a componente. Derivando \mathbf{r}(t)=\bigl(t,\,2,\,t^{2}+4\bigr) em relação a t temos
\mathbf{r}'(t)=\bigl(1,\,0,\,2t\bigr).
Expliquei: a derivada de t é 1; de 2 é 0 (constante); e de t^{2}+4 é 2t.

Passo 5

Avaliar o vetor tangente no ponto pedido: o ponto (2,2,8) corresponde a t=2 (porque substituindo t=2 em \mathbf{r}(t) obtemos (2,2,8)). Avaliando \mathbf{r}'(t) em t=2 obtemos
\mathbf{r}'(2)=\bigl(1,\,0,\,2\cdot 2\bigr)=\bigl(1,\,0,\,4\bigr).
Esse vetor \bigl(1,0,4\bigr) é a direção da reta tangente.

Passo 6

Escrevendo a equação da reta tangente: a reta que passa por (2,2,8) com vetor direção (1,0,4) tem a forma vetorial
\mathbf{r}(t)=(2,2,8)+t\,(1,0,4).
Escrevendo em forma paramétrica (se quiser relacionar com coordenadas x,y,z):
\begin{cases} x=2+t,\\[4pt] y=2,\\[4pt] z=8+4t. \end{cases}]

Passo 7

Obter uma forma sem parâmetro (opcional, útil na prova): da paramétrica x=2+t segue t=x-2. Substituindo em z=8+4t
z=8+4(x-2)=4x.
Portanto a reta também pode ser descrita pelas duas equações
y=2,\qquad z=4x.
Isto é equivalente à forma vetorial dada antes.

Resposta

\mathbf{r}(t)=(2,2,8)+t(1,0,4)
\text{Equivalente: } \begin{cases} y=2,\\[4pt] z=4x. \end{cases}]