Seja
Calcule
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
. -
. -
.
O que se pede:
- Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
(isto é,
e
). Explicação curta: ao derivar
em relação a
tratamos
como constante; ao derivar em relação a
tratamos
como constante.
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
. Aqui
e
são funções lineares de
, então é direto:
Passo 4
Apresentar a regra da cadeia para composição de funções: se
então, intuitivamente, uma variação em
muda
através das mudanças em
e em
. A fórmula é
Aqui
e
são as derivadas parciais de
calculadas no Passo 2;
são as derivadas do Passo 3.
Passo 5
Aplicar a fórmula da regra da cadeia para
. Substituindo
,
,
e
:
Isso ainda está escrito em termos de
e
; agora substituímos
e
.
Passo 6
Fazer a substituição e simplificar para obter a forma em
:
Somando os termos lineares:
Logo
Passo 7
Agora aplicar a regra da cadeia para
. Substituindo
,
,
e
:
Passo 8
Substituir
e
e simplificar:
Combine os termos lineares:
Logo