Seja
z=f(x, y)=x y+e^{x}, \quad x=u+v, \quad y=u-v .
Calcule
\frac{\partial z}{\partial u} \quad \text { e } \quad \frac{\partial z}{\partial v} .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • z=f(x,y)=x y+e^{x}.
  • x=u+v.
  • y=u-v.
O que se pede:
  • Calcular \dfrac{\partial z}{\partial u}.
  • Calcular \dfrac{\partial z}{\partial v}.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y (isto é, f_x e f_y). Explicação curta: ao derivar f em relação a x tratamos y como constante; ao derivar em relação a y tratamos x como constante.
f(x,y)=x y+e^{x}
Derivando em relação a x:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}(x y)+\frac{\partial}{\partial x}(e^{x})=y+e^{x}.
Derivando em relação a y:
f_y=\frac{\partial}{\partial y}(x y)=x.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de x e y em relação a u e v. Aqui x e y são funções lineares de u,v, então é direto:
x=u+v\quad\Rightarrow\quad x_u=\frac{\partial x}{\partial u}=1,\qquad x_v=\frac{\partial x}{\partial v}=1.
y=u-v\quad\Rightarrow\quad y_u=\frac{\partial y}{\partial u}=1,\qquad y_v=\frac{\partial y}{\partial v}=-1.

Passo 4

Apresentar a regra da cadeia para composição de funções: se z=f(x(u,v),y(u,v)) então, intuitivamente, uma variação em u muda z através das mudanças em x e em y. A fórmula é
\frac{\partial z}{\partial u}=f_x\,x_u+f_y\,y_u, \qquad \frac{\partial z}{\partial v}=f_x\,x_v+f_y\,y_v.
Aqui f_x e f_y são as derivadas parciais de f calculadas no Passo 2; x_u,x_v,y_u,y_v são as derivadas do Passo 3.

Passo 5

Aplicar a fórmula da regra da cadeia para \dfrac{\partial z}{\partial u}. Substituindo f_x, f_y, x_u e y_u:
\frac{\partial z}{\partial u}=(y+e^{x})\cdot 1 + x\cdot 1 = y+e^{x}+x.
Isso ainda está escrito em termos de x e y; agora substituímos x=u+v e y=u-v.

Passo 6

Fazer a substituição e simplificar para obter a forma em u,v:
\frac{\partial z}{\partial u}=(u-v)+e^{u+v}+(u+v).
Somando os termos lineares:
(u-v)+(u+v)=2u.
Logo
\frac{\partial z}{\partial u}=2u+e^{u+v}.

Passo 7

Agora aplicar a regra da cadeia para \dfrac{\partial z}{\partial v}. Substituindo f_x, f_y, x_v e y_v:
\frac{\partial z}{\partial v}=(y+e^{x})\cdot 1 + x\cdot(-1)=y+e^{x}-x.

Passo 8

Substituir x=u+v e y=u-v e simplificar:
\frac{\partial z}{\partial v}=(u-v)+e^{u+v}-(u+v).
Combine os termos lineares:
(u-v)-(u+v)=-2v.
Logo
\frac{\partial z}{\partial v}=-2v+e^{u+v}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}=2u+e^{u+v}
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial v}=-2v+e^{u+v}