1. Seja z_{k} um número complexo, solução da equação (\mathrm{z}+1)^{5}+\mathrm{z}^{5}=0, \mathrm{k}=0,1,2,3,4. Podemos afirmar que:
    R : Todos os \mathrm{Z}_{\mathrm{k}}, \mathrm{k}=0,1 \ldots, 4 estão sobre uma reta paralela ao eixo imaginário.

Passo 1

O enunciado dá a equação
(\mathrm{z}+1)^{5}+\mathrm{z}^{5}=0
e pede verificar a afirmação R: “Todos os \mathrm{z}_{k},\; k=0,1,\ldots,4 estão sobre uma reta paralela ao eixo imaginário.”\n
Informações relevantes dadas:
  • Estamos procurando as cinco soluções complexas \mathrm{z}_{k} dessa equação (há exatamente cinco porque é uma equação polinomial de grau 5).
  • A afirmação R diz que todas as soluções estão numa mesma reta vertical (ou seja, têm a mesma parte real).

Passo 2

Reescrevemos a equação isolando uma potência para facilitar a identificação das raízes de unity. Partimos de
(\mathrm{z}+1)^{5}+\mathrm{z}^{5}=0
e passamos um termo para o outro:
(\mathrm{z}+1)^{5} = -\,\mathrm{z}^{5}.
Dividindo ambos os lados por \mathrm{z}^{5} (isso é válido porque \mathrm{z}=0 não é solução: substituindo \mathrm{z}=0 1^5+0\neq0), obtemos
\left(\frac{\mathrm{z}+1}{\mathrm{z}}\right)^{5} = -1.
Definimos a razão
\mathrm{w} \coloneqq \frac{\mathrm{z}+1}{\mathrm{z}} = 1+\frac{1}{\mathrm{z}},
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\mathrm{w}^{5} = -1.

Passo 3

Agora encontramos as cinco raízes quinta de -1. Em forma polar, -1 = e^{i\pi}, portanto as cinco raízes são
\mathrm{w}_k = e^{i\theta_k},\qquad \theta_k = \frac{(2k+1)\pi}{5},\quad k=0,1,2,3,4.
Explicando: as soluções de \mathrm{w}^{5}=-1 são os complexos de módulo 1 com argumento \pi mais múltiplos de 2\pi, divididos por 5; escrevemos isso como \theta_k=(\pi+2\pi k)/5=(2k+1)\pi/5.

Passo 4

Voltando para \mathrm{z}, da definição de \mathrm{w} temos
1+\frac{1}{\mathrm{z}}=\mathrm{w}_k \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\mathrm{z}}=\mathrm{w}_k-1.
Portanto as soluções são
\mathrm{z}_k = \frac{1}{\mathrm{w}_k-1}=\frac{1}{e^{i\theta_k}-1},\qquad k=0,1,2,3,4.

Passo 5

Para analisar a posição no plano complexo (parte real e imaginária), escrevemos e^{i\theta_k}=\cos\theta_k+i\sin\theta_k. Então
\mathrm{z}_k=\frac{1}{\cos\theta_k-1+i\sin\theta_k}.
Para separar parte real e imaginária, racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
\mathrm{z}_k=\frac{\cos\theta_k-1-i\sin\theta_k}{(\cos\theta_k-1)^2+\sin^2\theta_k}.

Passo 6

Simplificamos o denominador. Note que
(\cos\theta_k-1)^2+\sin^2\theta_k = \cos^2\theta_k -2\cos\theta_k +1 +\sin^2\theta_k = (\cos^2\theta_k+\sin^2\theta_k) -2\cos\theta_k +1 = 1 -2\cos\theta_k +1 = 2(1-\cos\theta_k).
Assim
\mathrm{z}_k=\frac{\cos\theta_k-1}{2(1-\cos\theta_k)} \;-\; i\,\frac{\sin\theta_k}{2(1-\cos\theta_k)}.

Passo 7

A parte real de \mathrm{z}_k fica, portanto,
\operatorname{Re}(\mathrm{z}_k)=\frac{\cos\theta_k-1}{2(1-\cos\theta_k)}.
Observe que \cos\theta_k-1=-(1-\cos\theta_k). Substituindo:
\operatorname{Re}(\mathrm{z}_k)=\frac{-(1-\cos\theta_k)}{2(1-\cos\theta_k)}=-\tfrac{1}{2}.
Importante: isso vale para cada \theta_k usado (nenhum \theta_k faz 1-\cos\theta_k=0 porque \theta_k=(2k+1)\pi/5 não é múltiplo de 2\pi), então o denominador é não nulo e a simplificação é válida.

Passo 8

Concluímos que todas as soluções \mathrm{z}_k têm a mesma parte real:
\operatorname{Re}(\mathrm{z}_k)=-\tfrac{1}{2}\quad\text{para }k=0,1,2,3,4.
Geometricamente, isso significa que todos os pontos \mathrm{z}_k estão sobre a reta vertical de equação \operatorname{Re}(z)=-\tfrac{1}{2}, que é paralela ao eixo imaginário.

Resposta

Todos os \mathrm{z}_{k} estão sobre a reta \operatorname{Re}(z)=-\tfrac{1}{2}.

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