- Seja
um número complexo, solução da equação
. Podemos afirmar que:
R : Todos os
estão sobre uma reta paralela ao eixo imaginário.
R : Todos os
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede verificar a afirmação R: “Todos os
estão sobre uma reta paralela ao eixo imaginário.”\n
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Estamos procurando as cinco soluções complexas
dessa equação (há exatamente cinco porque é uma equação polinomial de grau 5). - A afirmação R diz que todas as soluções estão numa mesma reta vertical (ou seja, têm a mesma parte real).
Passo 2
Reescrevemos a equação isolando uma potência para facilitar a identificação das raízes de unity. Partimos de
e passamos um termo para o outro:
Dividindo ambos os lados por
(isso é válido porque
não é solução: substituindo
dá
), obtemos
Definimos a razão
logo
Passo 3
Agora encontramos as cinco raízes quinta de
. Em forma polar,
, portanto as cinco raízes são
Explicando: as soluções de
são os complexos de módulo 1 com argumento
mais múltiplos de
, divididos por
; escrevemos isso como
.
Passo 4
Voltando para
, da definição de
temos
Portanto as soluções são
Passo 5
Para analisar a posição no plano complexo (parte real e imaginária), escrevemos
. Então
Para separar parte real e imaginária, racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Passo 6
Simplificamos o denominador. Note que
Assim
Passo 7
A parte real de
fica, portanto,
Observe que
. Substituindo:
Importante: isso vale para cada
usado (nenhum
faz
porque
não é múltiplo de
), então o denominador é não nulo e a simplificação é válida.
Passo 8
Concluímos que todas as soluções
têm a mesma parte real:
Geometricamente, isso significa que todos os pontos
estão sobre a reta vertical de equação
, que é paralela ao eixo imaginário.
Resposta
Todos os
estão sobre a reta
.