Sejam E(x, y)=1x^2+y^2 x i+y jraizx^2+y^2 e gamma:[-1,1] R^2, dada por gamma(t)=(t, 1-t^4). Calcule integralgamma E cdot d gamma

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha do campo
E(x,y)=1x^2+y^2x,vec i + y,vec jraizx^2+y^2
ao longo da curva
gamma(t)=(t,,1-t^4), tin[-1,1]
O conteúdo de matéria é campo vetorial conservativo e aplicação do Teorema Fundamental das integrais de linha. Vamos mostrar que E é gradiente de uma função potencial e usar a diferença de potenciais nas extremidades da curva.

Passo 2

Primeiro escrevemos E de forma mais simples. Note que
x^2+y^2=r^2, r=raizx^2+y^2,
então
E(x,y)=x,vec i + y,vec j(x^2+y^2)^3/2 =x,vec i + y,vec jr^3

Passo 3

Procuramos uma função V(x,y) tal que nabla V=E. Lembrando que
nablal(-tfrac1rr) =l(partialx(-tfrac1r),,partialy(-tfrac1r)r) =l(xr^3,,yr^3r),
vemos que
V(x,y)=-1raizx^2+y^2
é potencial de E, pois nabla V=E. Assim E é conservativo em R^2setminus0.

Passo 4

Como gamma está em R^2setminus0 e não passa pela origem, podemos usar o Teorema Fundamental:
integralgammaEcdot dgamma =Vl(gamma(1)r)-Vl(gamma(-1)r)

Passo 5

Calculamos as extremidades:
gamma(1)=(1,,1-1^4)=(1,0), gamma(-1)=(-1,,1-(-1)^4)=(-1,0)
Em ambos os pontos r=raiz1^2+0^2=1, logo
V(1,0)=-11=-1, V(-1,0)=-11=-1

Passo 6

Substituindo na diferença de potenciais:
integralgammaEcdot dgamma =V(1,0)-V(-1,0) =(-1)-(-1)=0

Resposta

0

Exercícios relacionados