Sejam A = {3a + 7b : a, b em N} e B = {n em N : n^2 < 150}.
Prove que A ∪ B = N, usando o PIF no momento oportuno.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos dois conjuntos:
  • : Isso significa que contém todos os números que podem ser formados somando múltiplos de 3 e 7.
  • : Aqui, inclui todos os números naturais cujo quadrado é menor que 150.
O objetivo é provar que a união desses dois conjuntos, , abrange todos os números naturais . Para isso, vamos usar o Princípio da Indução Matemática, que nos ajuda a mostrar que uma propriedade é verdadeira para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que contém. Como , precisamos encontrar até que número :
Então, . Ou seja, os números de 1 a 12 estão garantidos em .

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto . Ele contém todos os números que podem ser escritos como onde e são naturais. Observando os múltiplos de 3 e 7, podemos ver que a partir de um certo ponto, todos os números podem ser formados por essas combinações.
Por exemplo:
  • Para :
  • Para :
E assim por diante. Isso mostra que a partir de 13, todos os números podem pertencer a .

Passo 4

Então, juntando as informações:
  • cobre de 1 a 12.
  • cobre 13 em diante.
Isso significa que qualquer número natural está ou em (se ) ou em (se ).

Resposta

Portanto, , ou seja, a união dos conjuntos e abrange todos os números naturais.

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