Sejam \alpha=\{(1,0),(0,2)\}, \beta=\{(-1,0),(1,1)\}, \gamma=\{(1,1),(-1,0)\} bases ordenadas de \mathbb{R}^{2}. Determine:
I]_{\beta}^{\gamma}

Passo 1

O enunciado dá três bases ordenadas de \mathbb{R}^2: \alpha=\{(1,0),(0,2)\}, \beta=\{(-1,0),(1,1)\} e \gamma=\{(1,1),(-1,0)\},
e pede a matriz de mudança de coordenadas do sistema de referência \beta para \gamma, isto é, [\!I\!]_{\beta}^{\gamma}. Para isso, basta expressar cada vetor de \beta nas coordenadas da base \gamma.

Passo 2

Sejam os vetores de \beta denotados por
b_1 = (-1,0),\quad b_2 = (1,1),
e os de \gamma por
g_1 = (1,1),\quad g_2 = (-1,0).
Então [\!I\!]_{\beta}^{\gamma} tem como colunas as coordenadas de b_1 e b_2 na base \gamma.

Passo 3

Expressão de b_1 em \gamma:
(-1,0) = x\,(1,1) + y\,(-1,0).
Da componente y obtemos x=0. Substituindo na componente x vem -y=-1, logo y=1.
Portanto, as coordenadas de b_1 em \gamma são (0,1).

Passo 4

Expressão de b_2 em \gamma:
(1,1) = x\,(1,1) + y\,(-1,0).
Da componente y obtemos x=1. Substituindo na componente x vem 1 - y = 1, logo y=0.
Portanto, as coordenadas de b_2 em \gamma são (1,0).

Resposta

[\!I\!]_{\beta}^{\gamma} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

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