Sejam \alpha=\left\{1, t, t^{2}\right\} e \beta=\left\{1,2 t+1, t^{2}\right\} bases ordenadas de \mathcal{P}_{2}.
(a) Determine [I]_{\beta}^{\alpha}.
(b) Se p(t)=3+2 t, encontre [p(t)]_{\beta}.
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço \mathcal{P}_{2} de polinômios de grau até 2 e as bases ordenadas \alpha = \{1,\,t,\,t^2\} e \beta = \{1,\,2t+1,\,t^2\}. Pede-se
(a) a matriz de mudança de base [I]_{\beta}^{\alpha}, isto é, a representação da aplicação identidade que leva coordenadas em \beta para coordenadas em \alpha;
(b) as coordenadas de p(t)=3+2t no sistema de referência \beta.
Passo 2
Para obter [I]_{\beta}^{\alpha}, lembramos que a j-ésima coluna dessa matriz é justamente o vetor \beta_j expresso em coordenadas da base \alpha. Como \alpha é a base padrão \{1,t,t^2\}, basta escrever cada elemento de \beta como combinação linear de 1, t e t^2.