Sejam \alpha=\left\{1, t, t^{2}\right\} e \beta=\left\{1,2 t+1, t^{2}\right\} bases ordenadas de \mathcal{P}_{2}.
(a) Determine [I]_{\beta}^{\alpha}.
(b) Se p(t)=3+2 t, encontre [p(t)]_{\beta}.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço \mathcal{P}_{2} de polinômios de grau até 2 e as bases ordenadas \alpha = \{1,\,t,\,t^2\} e \beta = \{1,\,2t+1,\,t^2\}. Pede-se
(a) a matriz de mudança de base [I]_{\beta}^{\alpha}, isto é, a representação da aplicação identidade que leva coordenadas em \beta para coordenadas em \alpha;
(b) as coordenadas de p(t)=3+2t no sistema de referência \beta.

Passo 2

Para obter [I]_{\beta}^{\alpha}, lembramos que a j-ésima coluna dessa matriz é justamente o vetor \beta_j expresso em coordenadas da base \alpha. Como \alpha é a base padrão \{1,t,t^2\}, basta escrever cada elemento de \beta como combinação linear de 1, t e t^2.

Passo 3

Expressões em coordenadas de \alpha:
\beta_1 = 1 = 1\cdot 1 + 0\cdot t + 0\cdot t^2 \quad\longrightarrow\quad (1,0,0),
\beta_2 = 2t+1 = 1\cdot 1 + 2\cdot t + 0\cdot t^2 \quad\longrightarrow\quad (1,2,0),
\beta_3 = t^2 = 0\cdot 1 + 0\cdot t + 1\cdot t^2 \quad\longrightarrow\quad (0,0,1).

Passo 4

Montando as colunas, obtemos
[I]_{\beta}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\[6pt] 0 & 2 & 0 \\[6pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Para achar [p(t)]_{\beta}\), escrevemos \[x\cdot 1 \;+\; y\,(2t+1) \;+\; z\cdot t^2 \;=\; 3 + 2t.
Pois ao expandir,
(x + y) + 2y\,t + z\,t^2 \;=\; 3 + 2t.
Igualando coeficientes:
\begin{cases} x + y = 3,\\\\ 2y = 2,\\\ z = 0, \end{cases}
de onde y = 1\], \(x = 2 e z = 0. Logo
[p(t)]_{\beta} = (2,\,1,\,0).

Resposta

(a) [I]_{\beta}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
(b) [p(t)]_{\beta} = (2,\,1,\,0).

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