Sejam a, b, c termos consecutivos, nesta ordem, de uma Progressão Aritmética de razão r tais que a \leqslant b \leqslant c. Se a, b e c são as medidas dos lados de um triângulo retângulo, determine a medida de c, sabendo que:
r=5

Passo 1

O enunciado dá três termos consecutivos a,b,c de uma progressão aritmética de razão r=5, com a\le b\le c, e afirma que esses valores são lados de um triângulo retângulo. O conteúdo necessário é a definição de PA e o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Numa PA de primeiro termo a e razão r vale
b = a + r,
c = a + 2r.
Como r=5,
b = a + 5,
c = a + 10.

Passo 3

Para formar um triângulo retângulo com hipotenusa c, aplicamos Pitágoras:
a^2 + b^2 = c^2.
Substituindo b = a+5 e c = a+10,
a^2 + (a+5)^2 = (a+10)^2.

Passo 4

Expandindo e simplificando:
a^2 + a^2 + 10a + 25 = a^2 + 20a + 100
2a^2 + 10a + 25 - a^2 - 20a - 100 = 0
a^2 - 10a - 75 = 0.
Resolvendo a equação:
a = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 300}}{2} = \frac{10 \pm 20}{2}.
As soluções são a = 15 ou a = -5, mas a deve ser positivo para lado de triângulo. Logo a = 15. Então
c = a + 10 = 15 + 10 = 25.

Resposta

25

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