Sejam a, b in(G, *). Mostre que:
b) (a^* b)^prime=b^prime * a^prime

Passo 1

Então, a gente tem um grupo com dois elementos e dentro desse grupo. A gente precisa provar que o inverso do produto é igual a . Para isso, vamos usar conceitos básicos de teoria de grupos, como a definição de inverso e as propriedades da operação de grupo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um inverso em um grupo. Para qualquer elemento g * g^prime = g^prime * g = e em , existe um elemento tal que:
onde é o elemento neutro do grupo.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o inverso de (a * b) * (a * b)^prime = e , ou seja, . Pela definição de inverso, devemos ter:

Passo 4

Vamos supor que (a * b) * (b^prime * a^prime) = e e verificar se essa igualdade satisfaz a condição de inverso. Substituindo na equação:

Passo 5

Usando a associatividade da operação de grupo, podemos reescrever a expressão:
a * (b * b^prime) * a^prime = a * e * a^prime
Porque .

Passo 6

Simplificando, temos:
a * e * a^prime = a * a^prime = e
Já que .

Passo 7

Como chegamos a , isso confirma que é realmente o inverso de .

Resposta

Portanto, mostramos que .

Exercícios relacionados