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Sejam 
  e 
  matrizes de ordem 
 , tais que 
 . Demonstre a fórmula do binômio de Newton:
 
Se 
 , mostre que a fórmula acima é falsa.
Sejam
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar a fórmula do binômio de Newton para matrizes quadradas 
  que comutam, ou seja, satisfazem 
 . Se as matrizes não comutarem, a fórmula não vale. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição de matrizes elevadas a potências, a expansão do binômio de Newton e entender o que significa duas matrizes comutarem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que duas matrizes comutam. Isso quer dizer que a ordem da multiplicação não importa: 
 . Isso é importante porque, ao expandir 
 , precisamos poder rearranjar os termos sem alterar o resultado.
Passo 3
Agora, vamos pensar na expansão de 
  usando o binômio de Newton. Para números, sabemos que 
 . Queremos ver se essa mesma fórmula funciona para matrizes.
Passo 4
A chave aqui é que, para símbolos que comutam, como números, podemos rearranjar as multiplicações sem problemas. Como 
 , ao multiplicar 
  e 
  várias vezes, podemos sempre colocar todas as 
  juntas e todas as 
  juntas, ou seja, 
 .
Passo 5
Vamos agora formalizar isso. Expandindo 
 , temos:
Isso porque cada termo da expansão corresponde a escolher 
  vezes 
  e 
  vezes 
 , e como elas comutam, a ordem não afeta o produto final.
Passo 6
Agora, se 
 , ou seja, se as matrizes não comutarem, não podemos simplesmente rearranjar os termos. Nesse caso, a expansão do binômio de Newton para matrizes não seria válida, pois a ordem das multiplicações influencia o resultado final.
Resposta
Portanto, quando 
 , a fórmula do binômio de Newton para matrizes é válida:
Mas se 
 , essa fórmula não se aplica.