Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3 , \operatorname{det} A=5 e \operatorname{det} B=3. Qual é o valor de:
\operatorname{det}\left(B^{t} \cdot A^{t}\right)

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas de ordem 3, A e B, com \det A=5 e \det B=3. Pede-se \det\bigl(B^{t}A^{t}\bigr). Para resolver vamos usar duas propriedades fundamentais de determinantes:
  1. \det(X^t)=\det(X) para qualquer matriz quadrada X.
  2. \det(XY)=\det(X)\,\det(Y) para matrizes quadradas X e Y compatíveis.

Passo 2

Usando a propriedade do produto, escrevemos
\det\bigl(B^{t}A^{t}\bigr) =\det\bigl(B^{t}\bigr)\,\det\bigl(A^{t}\bigr).
Pela propriedade da transposta, temos
\det\bigl(B^{t}\bigr)=\det(B)=3 e \det\bigl(A^{t}\bigr)=\det(A)=5.

Passo 3

Substituindo os valores obtidos,
\det\bigl(B^{t}A^{t}\bigr) =3 \cdot 5 =15.

Resposta

15

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