Sejam
e
números reais tais que
e seja
. Determine o maior número real positivo
tal que
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão nos pede. Temos dois números reais,
e
, com
, e um número
que está no intervalo aberto
. Precisamos encontrar o maior número real positivo
tal que o intervalo
esteja completamente dentro de
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de desigualdades e intervalos. Precisamos garantir que ao aumentar
, o intervalo centrado em
não ultrapasse os limites definidos por
e
.
Passo 2
Primeiro, para que
esteja contido em
, as seguintes condições devem ser verdadeiras:
Isso garante que o extremo inferior do intervalo não seja menor que
e que o extremo superior não seja maior que
.
Passo 3
Vamos resolver cada uma dessas desigualdades para encontrar
.
Da primeira inequação:
Da segunda inequação:
Passo 4
Para que ambas as condições sejam satisfeitas ao mesmo tempo,
precisa ser menor que ambos
e
. Portanto, o maior valor possível para
é o menor entre
e
.
Resposta
O maior número real positivo
é: