Sejam A, B \subseteq \mathbb{U} conjuntos. Mostre que
\bar{B} \cup \overline{(A \cup B)}=\bar{B}.

Passo 1

O enunciado nos dá dois conjuntos A e B em um universo \mathbb{U} e pede para mostrar que
\bar{B} \cup \overline{(A \cup B)} = \bar{B}.
O conteúdo principal envolve operações com complementos e união, além das leis de De Morgan e de absorção em teoria de conjuntos.

Passo 2

Aplicamos a lei de De Morgan ao complemento da união:
\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}.

Passo 3

Substituindo esse resultado na união desejada, obtemos
\bar{B} \cup \overline{A \cup B} = \bar{B} \cup (\bar{A} \cap \bar{B}).
Pela lei de absorção, sabemos que para quaisquer conjuntos X,Y vale
X \cup (Y \cap X) = X.
Basta tomar X = \bar{B} e Y = \bar{A} para concluir que
\bar{B} \cup (\bar{A} \cap \bar{B}) = \bar{B}.

Resposta

\bar{B}

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