Sejam A, B \subseteq \mathbb{U} conjuntos. Mostre que
A \cap \overline{(A \cup B)}=\emptyset.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados A,B\subseteq\mathbb{U},
A \cap \overline{(A \cup B)} = \emptyset.
O conteúdo envolvido é álgebra de conjuntos, em particular as Leis de De Morgan e propriedades de intersecção e complemento.

Passo 2

Aplicamos a Lei de De Morgan ao complemento de união:
\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}.

Passo 3

Substituímos em A \cap \overline{(A \cup B)} e reagrupamos usando associatividade e comutatividade de \cap:
A \cap \bigl(\overline{A} \cap \overline{B}\bigr) = \bigl(A \cap \overline{A}\bigr)\cap \overline{B}.

Passo 4

Como nenhum elemento pode pertencer simultaneamente a A e a \overline{A}, tem-se
A \cap \overline{A} = \emptyset.
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\bigl(A \cap \overline{A}\bigr)\cap \overline{B} = \emptyset\cap \overline{B} = \emptyset.

Resposta

\emptyset

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