Sejam A, B \subseteq \mathbb{U} conjuntos. Mostre que
\overline{(\bar{A}-\bar{B})}=A \cup \bar{B}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, em termos de teoria de conjuntos, que para quaisquer A,B\subseteq\mathbb{U} vale
\overline{(\overline A - \overline B)} \;=\; A \cup \overline B.
Vamos usar definição de diferença, complemento de conjunto e a lei de De Morgan.

Passo 2

Pela definição de diferença,
\overline A - \overline B =\{\,x\in\mathbb{U}\mid x\in\overline A\;\land\;x\notin\overline B\}.
Então
x\in\overline A-\overline B \quad\Longleftrightarrow\quad \bigl(x\in\overline A\bigr)\land\bigl(x\notin\overline B\bigr).

Passo 3

Agora tomamos o complemento desse conjunto. Pela lei de De Morgan,
x\in\overline{(\overline A - \overline B)} \quad\Longleftrightarrow\quad \neg\bigl[(x\in\overline A)\land(x\notin\overline B)\bigr] \quad\Longleftrightarrow\quad \bigl(x\notin\overline A\bigr)\;\lor\;\bigl(x\in\overline B\bigr).

Passo 4

Repare que x\notin\overline A é equivalente a x\in A. Logo
x\in\overline{(\overline A - \overline B)} \quad\Longleftrightarrow\quad (x\in A)\;\lor\;(x\in\overline B) \quad\Longleftrightarrow\quad x\in A\cup\overline B.
Isso mostra que os dois conjuntos coincidem.

Resposta

\displaystyle \overline{(\overline A - \overline B)} = A \cup \overline B.

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