Sejam A, B \subseteq \mathbb{U} conjuntos. Mostre que
\overline{(\bar{A} \cup \bar{B})} \cup \overline{(\bar{A} \cup B)}=A.

Passo 1

O enunciado afirma que, para conjuntos A,B\subseteq\mathbb{U}, vale a igualdade
\overline{\bigl(\overline{A}\cup\overline{B}\bigr)} \;\cup\; \overline{\bigl(\overline{A}\cup B\bigr)} \;=\;A.
O conteúdo que vamos usar é a Lei de De Morgan para complementar uniões e a distributividade da interseção sobre a união.

Passo 2

Aplico a Lei de De Morgan à primeira parcela:
\overline{\bigl(\overline{A}\cup\overline{B}\bigr)} \;=\; \overline{\overline{A}}\;\cap\;\overline{\overline{B}} \;=\; A\;\cap\;B.

Passo 3

Agora aplico De Morgan à segunda parcela:
\overline{\bigl(\overline{A}\cup B\bigr)} \;=\; \overline{\overline{A}}\;\cap\;\overline{B} \;=\; A\;\cap\;\overline{B}.

Passo 4

Faço a união das duas parcelas obtidas em

Passo 5

(A\cap B)\;\cup\;(A\cap\overline{B}) \;=\; A\;\cap\;(B\cup\overline{B}).
Como B\cup\overline{B}=\mathbb{U}, segue que
A\;\cap\;\mathbb{U} \;=\; A.

Resposta

\overline{\bigl(\overline{A}\cup\overline{B}\bigr)} \;\cup\; \overline{\bigl(\overline{A}\cup B\bigr)} \;=\; A.

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