Sejam A, B \subseteq \mathbb{U} conjuntos. Mostre que
\overline{(A \cap \bar{B}) \cup(\bar{A} \cap \bar{B})}=B.

Passo 1

O enunciado diz que A,B\subseteq \mathbb{U} e pede para mostrar
\overline{(A \cap \bar{B}) \;\cup\;(\bar{A} \cap \bar{B})} \;=\; B.
O conteúdo principal aqui são as operações de complemento, união e interseção em conjuntos, usando as Leis de De Morgan e propriedades básicas de conjuntos.

Passo 2

Definimos
X \;=\;(A \cap \bar{B}) \;\cup\;(\bar{A} \cap \bar{B}).
Queremos provar que \bar{X}=B. Primeiro aplicamos a Lei de De Morgan ao complemento de uma união:
\bar{X} =\overline{(A \cap \bar{B}) \;\cup\;(\bar{A} \cap \bar{B})} =\overline{(A \cap \bar{B})}\;\cap\;\overline{(\bar{A} \cap \bar{B})}.

Passo 3

Agora aplicamos De Morgan dentro de cada um dos complementos de interseção:
\overline{(A \cap \bar{B})} =\bar{A}\;\cup\;\overline{\bar{B}} =\bar{A}\;\cup\;B,
\overline{(\bar{A} \cap \bar{B})} =\overline{\bar{A}}\;\cup\;\overline{\bar{B}} =A\;\cup\;B.

Passo 4

Substituindo esses resultados em \bar{X}, temos
\bar{X} =(\bar{A}\;\cup\;B)\;\cap\;(A\;\cup\;B).
Para simplificar, usamos a distributividade da interseção sobre a união:
(\bar{A}\cup B)\cap(A\cup B) =\bigl(\bar{A}\cap A\bigr)\;\cup\;B =\varnothing\;\cup\;B =B.
Aqui usamos que \bar{A}\cap A=\varnothing e que \varnothing\cup B=B.

Resposta

\overline{(A \cap \bar{B}) \cup (\bar{A} \cap \bar{B})} = B.

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