Sejam A, B \subseteq \mathbb{U} conjuntos. Mostre que
\overline{A \cup(B-A)}=\bar{A}-B.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, num universo \mathbb{U} qualquer e dados A,B\subseteq\mathbb{U}, vale
\overline{A \cup (B - A)} \;=\;\overline{A} - B.
Aqui estamos usando as operações de união, diferença de conjuntos e complemento em \mathbb{U}. Vamos aplicar as leis de De Morgan e as definições de complemento e diferença para chegar ao resultado.

Passo 2

Aplicamos a lei de De Morgan ao complemento da união. Isto é, para quaisquer conjuntos X,Y\subseteq\mathbb{U} vale
\overline{X\cup Y} = \overline{X}\,\cap\,\overline{Y}.
Tomando X=A e Y=B-A, obtemos:
\overline{A\cup (B-A)} = \overline{A}\,\cap\,\overline{B-A}.

Passo 3

Reescrevemos a diferença B-A usando interseção e complemento:
B - A = B \cap \overline{A}.
Isso segue da definição de diferença de conjuntos.

Passo 4

Agora aplicamos De Morgan ao complemento de B-A = B\cap\overline{A}. Para qualquer interseção vale
\overline{B\cap \overline{A}} = \overline{B}\,\cup\,\overline{\overline{A}} = \overline{B}\,\cup\,A.
Logo,
\overline{B-A} = \overline{B}\,\cup\,A.

Passo 5

Substituímos este resultado em \overline{A\cup (B-A)}:
\overline{A\cup (B-A)} = \overline{A}\;\cap\;\bigl(\overline{B}\cup A\bigr).
Distribuindo a interseção:
\overline{A}\cap(\overline{B}\cup A) = (\overline{A}\cap\overline{B}) \;\cup\; (\overline{A}\cap A).
Mas \overline{A}\cap A = \varnothing, pois nada pode estar simultaneamente em A e em seu complemento. Então
\overline{A\cup (B-A)} = \overline{A}\,\cap\,\overline{B}.

Passo 6

Finalmente, pela definição de diferença de conjuntos,
\overline{A} - B = \overline{A}\,\cap\,\overline{B}.
Portanto
\overline{A\cup (B-A)} = \overline{A}\cap\overline{B} = \overline{A} - B,
que era o que queríamos mostrar.

Resposta

\overline{A \cup (B - A)} = \overline{A} - B.

Exercícios relacionados