Sejam a, b, c constantes complexas. Use a definição de limites (2) da Seção 15 para provar que
\lim _{z \rightarrow 1-i}[x+i(2 x+y)]=1+i \quad(z=x+i y).

Passo 1

Estamos com a função definida por
f(z)=x+i(2x+y),
onde z=x+iy, e queremos mostrar que
\lim_{z\to 1 - i}f(z)=1+i
usando a definição: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<|z-(1-i)|<\delta, então |f(z)-(1+i)|<\varepsilon.

Passo 2

Calculemos a diferença f(z)-(1+i). Como
f(z)=x+i(2x+y),
temos
f(z)-(1+i) =(x-1)+i\bigl((2x+y)-1\bigr).

Passo 3

Usamos a desigualdade triangular no módulo:
\bigl|f(z)-(1+i)\bigr| =\bigl|(x-1)+i\bigl((2x+y)-1\bigr)\bigr| \le |x-1|+\bigl|(2x+y)-1\bigr|.

Passo 4

Agora estimamos \bigl|(2x+y)-1\bigr|. Note que
(2x+y)-1 =2(x-1)+(y+1),
logo
\bigl|(2x+y)-1\bigr| \le 2|x-1|+|y+1|.
Assim
\bigl|f(z)-(1+i)\bigr| \le |x-1|+2|x-1|+|y+1| =3|x-1|+|y+1|.
Mas, como
|x-1|\le|z-(1-i)|,\quad|y+1|\le|z-(1-i)|,
segue
\bigl|f(z)-(1+i)\bigr| \le 3|z-(1-i)|+|z-(1-i)| =4\,|z-(1-i)|.

Passo 5

Dado \varepsilon>0, escolha
\delta=\frac{\varepsilon}{4}.
Então, sempre que 0<|z-(1-i)|<\delta, temos
\bigl|f(z)-(1+i)\bigr|\le 4\,|z-(1-i)|<4\,\delta=\varepsilon.
Isto mostra, pela definição de limite, que
\lim_{z\to 1 - i}f(z)=1+i.

Resposta

\displaystyle 1+i

Exercícios relacionados