Sejam n um inteiro positivo e P(z) e Q(z) polinômios, sendo Q\left(z_{0}\right) \neq 0. Use o Teorema 2 da Seção 16, bem como os limites que aparecem naquela seção, para obter \lim _{z \rightarrow z_{0}} \frac{1}{z^{n}} \quad\left(z_{0} \neq 0\right);
Passo 1
O enunciado pede para calcular \lim_{z\to z_{0}}\frac{1}{z^{n}}
sendo n inteiro positivo e z_{0}\neq0.
O conteúdo envolvido é o cálculo de limites de funções complexas, em particular a função potência z\mapsto z^{n} (que é polinomial) e a função recíproca w\mapsto1/w. Vamos usar o fato de que limites preservam soma, produto e quociente (desde que o denominador não zere no ponto).
Passo 2
Primeiro, calculamos \lim_{z\to z_{0}}z^{n}.
Como z^{n} é o produto de n fatores iguais a z, aplicando repetidamente o teorema do limite do produto (Teorema 2 da Seção 16) e sabendo que \lim_{z\to z_{0}}z = z_{0},
obtemos
Como z_{0}\neq0, segue que z^{n} não se anula próximo de z_{0}, e portanto podemos aplicar o teorema do limite do quociente (desde que o limite do denominador seja diferente de zero). Logo,