Sejam E e F eventos independentes tais que P(E)=\frac{1}{3} e P(F)=\frac{1}{2}. Calcule
(b) P\left(E^{C} \cup F^{C}\right)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • P(E)=\dfrac{1}{3}.
  • P(F)=\dfrac{1}{2}.
  • E e F são eventos independentes.
O que o enunciado pede:
  • Calcular P\bigl(E^{C}\cup F^{C}\bigr).

Passo 2

Entendendo os símbolos (para não ficar perdido):
  • E^{C} é o complemento de E: significa "não ocorrer E". A probabilidade de um complemento satisfaz a fórmula
P(A^{C})=1-P(A),
onde A é qualquer evento.
  • A união E^{C}\cup F^{C} significa “ocorre E^{C} ou F^{C} (ou ambos)”, isto é, “pelo menos um dos eventos E ou F não ocorre”.

Passo 3

Aplicar a lei de De Morgan para escrever a união dos complementos de forma mais útil:
E^{C}\cup F^{C}=\bigl(E\cap F\bigr)^{C}.
Interpretação: “pelo menos um não ocorre” é equivalente a “não ocorre que ambos ocorram”. Isso permite usar a propriedade de complemento direto na interseção.

Passo 4

Usar a fórmula da probabilidade do complemento no caso acima:
P\bigl(E^{C}\cup F^{C}\bigr)=P\bigl((E\cap F)^{C}\bigr)=1-P\bigl(E\cap F\bigr).
Ou seja, para encontrar P\bigl(E^{C}\cup F^{C}\bigr) basta calcular P(E\cap F) e subtrair de 1.

Passo 5

Usar independência para calcular P(E\cap F). Por definição, se E e F são independentes então
P\bigl(E\cap F\bigr)=P(E)\,P(F).
Aqui P(E)=\dfrac{1}{3} e P(F)=\dfrac{1}{2}, então
P\bigl(E\cap F\bigr)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}.

Passo 6

Fazer as contas passo a passo:
P\bigl(E\cap F\bigr)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}.
Logo
P\bigl(E^{C}\cup F^{C}\bigr)=1-P\bigl(E\cap F\bigr)=1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}.

Resposta

\dfrac{5}{6}