Sejam E e F eventos independentes tais que P(E)=\frac{1}{3} e P(F)=\frac{1}{2}. Calcule
(c) P\left(E^{C} \cap F\right)

Passo 1

O enunciado dá estas informações:
  • P(E)=\frac{1}{3}.
  • P(F)=\frac{1}{2}.
  • E e F são eventos independentes.
O que se pede:
  • Calcular P\big(E^{C}\cap F\big), i.e. a probabilidade de ocorrer F e não ocorrer E.

Passo 2

Relembrando o que é o complementar: E^{C} é o evento "não E". A regra simples do complementar diz que
P(E^{C})=1-P(E).
Aplicando com P(E)=\frac{1}{3} obtemos
P(E^{C})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.

Passo 3

Relembrando o que significa independência de eventos: E e F são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. Em termos de probabilidades isso se escreve
P(E\cap F)=P(E)\,P(F).
Usando P(E)=\frac{1}{3} e P(F)=\frac{1}{2} temos
P(E\cap F)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6}.

Passo 4

Usando a decomposição do evento F em duas partes disjuntas:
F=(E\cap F)\cup(E^{C}\cap F),
essas duas partes são disjuntas (não podem ocorrer simultaneamente). Portanto as probabilidades somam:
P(F)=P(E\cap F)+P(E^{C}\cap F).
Isolando o que queremos:
P(E^{C}\cap F)=P(F)-P(E\cap F).
Substituindo os valores conhecidos:
P(E^{C}\cap F)=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}.

Passo 5

Fazendo a subtração com denominador comum 6:
\frac{1}{2}=\frac{3}{6},\qquad \frac{3}{6}-\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
Logo
P(E^{C}\cap F)=\frac{1}{3}.

Passo 6

Checagem alternativa (mesma resposta, só para reforçar a ideia): como mostrei implicitamente, de P(E\cap F)=P(E)P(F) segue
P(E^{C}\cap F)=P(F)-P(E\cap F)=P(F)-P(E)P(F)=(1-P(E))P(F)=P(E^{C})P(F),
ou seja E^{C} e F também são independentes, e então
P(E^{C}\cap F)=P(E^{C})P(F)=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{1}{3}