1. Sejam f e g funções deriváveis, tais que g(-1)=2, f(2)=-3, g^{\prime}(-1)=-1 / 3 e f^{\prime}(2)=6. Encontre as retas tangente e normal à curva y=f(g(x)), no ponto de abscissa x=-1.

Passo 1

O enunciado define a curva y=f(g(x)) e dá os valores
g(-1)=2,\quad f(2)=-3,\quad g'(-1)=-\tfrac13,\quad f'(2)=6.
Queremos achar as retas tangente e normal no ponto de abscissa x=-1. Para isso vamos (i) usar a regra da cadeia para obter o declive da tangente e (ii) aplicar a forma ponto-declive das retas.

Passo 2

Pela regra da cadeia, a derivada de y=f(g(x)) é
\frac{dy}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x).
No ponto x=-1, isso fica
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=-1} = f'(g(-1))\cdot g'(-1) = f'(2)\cdot\bigl(-\tfrac13\bigr) = 6\cdot\bigl(-\tfrac13\bigr) = -2.
Logo, o declive da reta tangente é -2.

Passo 3

A abscissa é x_0=-1. A ordenada correspondente é
y_0=f\bigl(g(-1)\bigr)=f(2)=-3.
Portanto o ponto de tangência é (-1,-3).

Passo 4

A reta tangente, de declive m=-2 passando por (-1,-3), em forma ponto-declive é
y - y_0 = m(x - x_0)
y + 3 = -2(x + 1)
que simplifica para
y = -2x -5.

Passo 5

A reta normal é perpendicular à tangente, então seu declive é o negativo do recíproco de -2, isto é, m_n=\tfrac12. Usando ponto-declive em (-1,-3):
y + 3 = \tfrac12(x + 1)
que dá
y = \tfrac12x - \tfrac52.

Resposta

Reta tangente: y = -2x - 5.
Reta normal: y = \tfrac12x - \tfrac52.

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