Sejam
subespaços vetoriais do espaço vetorial de dimensão finita
. Responda os itens abaixo:
(a) Obtenha uma base de
que contenha uma base de
, uma base de
e uma base de
.
(b) Calcule
.
(a) Obtenha uma base de
(b) Calcule
Passo 1
O enunciado trata de dois subespaços
e
de um espaço vetorial
de dimensão finita. Precisamos usar o teorema de extensão de base: dada uma base de um subespaço, podemos estendê-la a uma base de um espaço maior. Vamos escolher bases adequadas de
, de
e de
e mostrar como combiná-las para obter uma base de
.
Passo 2
Seja
uma base de
. Pelo teorema de extensão de base, podemos adicionar vetores
de modo que
seja uma base de
. Daí segue que
.
Passo 3
De forma análoga, estendemos
a uma base de
adicionando vetores
, de modo que
é base de
. Daí
.
Passo 4
Mostramos que o conjunto
é base de
.
- Geração: todo
escreve-se como com , . Como baseia e baseia , cada um desses somandos é combinação linear de vetores de . Logo é combinação linear de . - Independência linear: suponha que uma combinação
Agrupando os termos em
e em
e usando que
é base de
, conclui-se que todos os coeficientes
são zero. Logo
é linearmente independente.
Passo 5
Contamos o número de vetores em
:
Como
e
, temos
Resposta
Uma base de
que contém bases de
,
e
é
onde
baseia
,
baseia
e
baseia
.
Além disso,
Além disso,