Sejam F_{1}, F_{2} subespaços vetoriais do espaço vetorial de dimensão finita E. Responda os itens abaixo:
(a) Obtenha uma base de F_{1}+F_{2} que contenha uma base de F_{1}, uma base de F_{2} e uma base de F_{1} \cap F_{2}.
(b) Calcule \operatorname{dim} F_{1}+F_{2}.

Passo 1

O enunciado trata de dois subespaços F_{1} e F_{2} de um espaço vetorial E de dimensão finita. Precisamos usar o teorema de extensão de base: dada uma base de um subespaço, podemos estendê-la a uma base de um espaço maior. Vamos escolher bases adequadas de F_{1}\cap F_{2}, de F_{1} e de F_{2} e mostrar como combiná-las para obter uma base de F_{1}+F_{2}.

Passo 2

Seja \{u_{1},\dots,u_{r}\} uma base de F_{1}\cap F_{2}. Pelo teorema de extensão de base, podemos adicionar vetores \{u_{r+1},\dots,u_{r+s}\} de modo que
\{u_{1},\dots,u_{r},u_{r+1},\dots,u_{r+s}\}
seja uma base de F_{1}. Daí segue que \dim F_{1}=r+s.

Passo 3

De forma análoga, estendemos \{u_{1},\dots,u_{r}\} a uma base de F_{2} adicionando vetores \{v_{r+1},\dots,v_{r+t}\}, de modo que
\{u_{1},\dots,u_{r},v_{r+1},\dots,v_{r+t}\}
é base de F_{2}. Daí \dim F_{2}=r+t.

Passo 4

Mostramos que o conjunto
B \;=\;\{\,u_{1},\dots,u_{r},u_{r+1},\dots,u_{r+s},v_{r+1},\dots,v_{r+t}\}
é base de F_{1}+F_{2}.
  1. Geração: todo x\in F_{1}+F_{2} escreve-se como x=x_{1}+x_{2} com x_{1}\in F_{1}, x_{2}\in F_{2}. Como \{u_{1},\dots,u_{r+s}\} baseia F_{1} e \{u_{1},\dots,u_{r},v_{r+1},\dots,v_{r+t}\} baseia F_{2}, cada um desses somandos é combinação linear de vetores de B. Logo x é combinação linear de B.
  2. Independência linear: suponha que uma combinação
\sum_{i=1}^{r}\alpha_{i}u_{i} + \sum_{j=r+1}^{r+s}\beta_{j}u_{j} + \sum_{k=r+1}^{r+t}\gamma_{k}v_{k} \;=\;0.
Agrupando os termos em F_{1} e em F_{2} e usando que \{u_{1},\dots,u_{r}\} é base de F_{1}\cap F_{2}, conclui-se que todos os coeficientes \alpha_{i},\beta_{j},\gamma_{k} são zero. Logo B é linearmente independente.

Passo 5

Contamos o número de vetores em B:
\lvert B\rvert \;=\; r + s + t.
Como \dim F_{1}=r+s e \dim F_{2}=r+t, temos
r+s+t \;=\; (r+s)+(r+t)-r \;=\;\dim F_{1} + \dim F_{2} - \dim(F_{1}\cap F_{2}).

Resposta

Uma base de F_{1}+F_{2} que contém bases de F_{1}, F_{2} e F_{1}\cap F_{2} é
\{u_{1},\dots,u_{r},u_{r+1},\dots,u_{r+s},v_{r+1},\dots,v_{r+t}\},
onde \{u_{1},\dots,u_{r}\} baseia F_{1}\cap F_{2}, \{u_{1},\dots,u_{r+s}\} baseia F_{1} e \{u_{1},\dots,u_{r},v_{r+1},\dots,v_{r+t}\} baseia F_{2}.
Além disso,
\dim(F_{1}+F_{2}) =\dim F_{1}+\dim F_{2}-\dim(F_{1}\cap F_{2}).

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