Sejam
um grupo finito e
. Mostre que se
, então
é um grupo cíclico. Mostre, com um exemplo, que o resultado não é necessariamente verdade se
é um grupo infinito.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado:
é um grupo finito e . - Informação adicional dada:
. Aqui significa a ordem do elemento (número de elementos do subgrupo gerado por ) e é o número de elementos de . - Pedido: Mostrar que, sob essas hipóteses,
é um grupo cíclico (ou seja, existe um elemento que gera todo o grupo; queremos mostrar que esse elemento é ). - Pedido extra: Dar um exemplo mostrando que, se
for infinito, a afirmação pode falhar (ou seja, pode ocorrer mas não ser cíclico).
Passo 2
Definições e fatos básicos (explicados devagar):
- Ordem de um elemento: Para
, a ordem de , denotada por , é o menor inteiro positivo tal que (onde é o elemento neutro). Se não existir tal , diz-se que . Outra descrição útil é que é exatamente o número de elementos do subgrupo . - Subgrupo gerado por
: é o conjunto de todas as potências de . É um subgrupo de e tem exatamente elementos por definição. - Observação simples: se
é um subgrupo de e e ambos são finitos, então . Por quê? Porque e se têm o mesmo número finito de elementos, não pode ser estritamente menor; logo são iguais.
Passo 3
Prova do caso finito (passo a passo direto):
- Considere o subgrupo
. Pelo que dissemos, . - Pelo enunciado,
. Portanto . - Mas
é um subgrupo de , logo e ambos são conjuntos finitos com o mesmo número de elementos. - Conclusão:
. Assim é gerado por , ou seja, é cíclico e .
Comentário didático rápido (motivação): a ideia é apenas contar elementos. Em grupos finitos, subgrupos têm ordem que divide a ordem do grupo (teorema de Lagrange); aqui a ordem do subgrupo
é exatamente a ordem de
, e se essa ordem já é igual à ordem do grupo então não resta outra possibilidade senão o subgrupo ser o grupo todo.
Passo 4
Transição para o caso infinito: por que a mesma contagem falha?
- Em conjuntos infinitos a igualdade de cardinalidades não implica igualdade de subconjuntos. Exemplo clássico:
e têm a mesma cardinalidade, mas é subconjunto próprio de . - Assim, em grupos infinitos pode acontecer que
seja infinito e tenha a mesma cardinalidade que , sem que . Precisamos dar um exemplo concreto e simples.
Passo 5
Exemplo concreto (mostrando tudo passo a passo):
- Tome
com a operação de soma componente a componente. Este grupo é infinito e, mais precisamente, é enumerável (tem cardinalidade contável ), porque produto de dois conjuntos contáveis é contável. - Escolha
. O subgrupo gerado por é
,
que é isomorfo ae portanto tem cardinalidade (é infinito contável). - Observação sobre cardinalidades:
e também . Assim, numericamente, (ambos são infinitos contáveis). - Porém
não é cíclico. Prova curta: suponha, para contradizer, que para algum . Então existe inteiro tal que . Assim e . Da equação segue . Da equação segue . Por outro lado, para obter teria de existir tal que . Então e . Pela primeira igualdade vem , contradizendo . Portanto não existe que gere ambos e , logo não é gerado por um único elemento; isto é, não é cíclico. - Conclusão do exemplo:
(ambos contáveis), mas não é cíclico. Assim a afirmação do enunciado falha no caso infinito.
Resposta
Exemplo contrária no caso infinito: