Sejam G um grupo finito e a \in G. Mostre que se |a|=|G|, então G é um grupo cíclico. Mostre, com um exemplo, que o resultado não é necessariamente verdade se G é um grupo infinito.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: G é um grupo finito e a\in G.
  • Informação adicional dada: |a|=|G|. Aqui |a| significa a ordem do elemento a (número de elementos do subgrupo gerado por a) e |G| é o número de elementos de G.
  • Pedido: Mostrar que, sob essas hipóteses, G é um grupo cíclico (ou seja, existe um elemento que gera todo o grupo; queremos mostrar que esse elemento é a).
  • Pedido extra: Dar um exemplo mostrando que, se G for infinito, a afirmação pode falhar (ou seja, pode ocorrer |a|=|G| mas G não ser cíclico).

Passo 2

Definições e fatos básicos (explicados devagar):
  • Ordem de um elemento: Para a\in G, a ordem de a, denotada por |a|, é o menor inteiro positivo n tal que a^n=e (onde e é o elemento neutro). Se não existir tal n, diz-se que |a|=\infty. Outra descrição útil é que |a| é exatamente o número de elementos do subgrupo \langle a\rangle=\{a^k : k\in\mathbb{Z}\}.
  • Subgrupo gerado por a: \langle a\rangle é o conjunto de todas as potências de a. É um subgrupo de G e tem exatamente |a| elementos por definição.
  • Observação simples: se H é um subgrupo de G e |H|=|G| e ambos são finitos, então H=G. Por quê? Porque H\subseteq G e se têm o mesmo número finito de elementos, não pode ser estritamente menor; logo são iguais.

Passo 3

Prova do caso finito (passo a passo direto):
  • Considere o subgrupo \langle a\rangle. Pelo que dissemos, |\langle a\rangle|=|a|.
  • Pelo enunciado, |a|=|G|. Portanto |\langle a\rangle|=|G|.
  • Mas \langle a\rangle é um subgrupo de G, logo \langle a\rangle\subseteq G e ambos são conjuntos finitos com o mesmo número de elementos.
  • Conclusão: \langle a\rangle=G. Assim G é gerado por a, ou seja, G é cíclico e G=\langle a\rangle.
Comentário didático rápido (motivação): a ideia é apenas contar elementos. Em grupos finitos, subgrupos têm ordem que divide a ordem do grupo (teorema de Lagrange); aqui a ordem do subgrupo \langle a\rangle é exatamente a ordem de a, e se essa ordem já é igual à ordem do grupo então não resta outra possibilidade senão o subgrupo ser o grupo todo.

Passo 4

Transição para o caso infinito: por que a mesma contagem falha?
  • Em conjuntos infinitos a igualdade de cardinalidades não implica igualdade de subconjuntos. Exemplo clássico: \mathbb{N} e \mathbb{Z} têm a mesma cardinalidade, mas \mathbb{N} é subconjunto próprio de \mathbb{Z}.
  • Assim, em grupos infinitos pode acontecer que \langle a\rangle seja infinito e tenha a mesma cardinalidade que G, sem que \langle a\rangle=G. Precisamos dar um exemplo concreto e simples.

Passo 5

Exemplo concreto (mostrando tudo passo a passo):
  • Tome G=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} com a operação de soma componente a componente. Este grupo é infinito e, mais precisamente, é enumerável (tem cardinalidade contável \aleph_0), porque produto de dois conjuntos contáveis é contável.
  • Escolha a=(1,0)\in G. O subgrupo gerado por a é
    \langle a\rangle=\{(n,0): n\in\mathbb{Z}\},
    que é isomorfo a \mathbb{Z} e portanto tem cardinalidade \aleph_0 (é infinito contável).
  • Observação sobre cardinalidades: |\langle a\rangle|=\aleph_0 e também |G|=|\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}|=\aleph_0. Assim, numericamente, |a|=|G| (ambos são infinitos contáveis).
  • Porém G não é cíclico. Prova curta: suponha, para contradizer, que G=\langle (u,v)\rangle para algum (u,v). Então existe inteiro n tal que n(u,v)=(1,0). Assim nu=1 e nv=0. Da equação nv=0 segue v=0. Da equação nu=1 segue u=\pm1. Por outro lado, para obter (0,1) teria de existir m tal que m(u,v)=(0,1). Então mu=0 e mv=1. Pela primeira igualdade vem u=0, contradizendo u=\pm1. Portanto não existe (u,v) que gere ambos (1,0) e (0,1), logo G não é gerado por um único elemento; isto é, G não é cíclico.
  • Conclusão do exemplo: |a|=|G| (ambos contáveis), mas G não é cíclico. Assim a afirmação do enunciado falha no caso infinito.

Resposta

G=\langle a\rangle (portanto G é cíclico).
Exemplo contrária no caso infinito: G=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}, a=(1,0); tem-se |a|=|\mathbb{Z}|=|\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}| mas G não é cíclico.