Sejam a, b \in \mathbb{R} e considere o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}=1 \\\\ 2 x_{1}+a x_{2}-x_{3}=2 a \\\\ 3 x_{1}+2 x_{2}+b x_{3}=0 \end{array}\right.
nas incógnitas x_{1}, x_{2}, x_{3}. Assinale a alternativa que contém as condições exatas sobre a e b que tornam esse sistema impossível.
(A) (a-2)(b+3)+1=0 e a \neq 1
(B) (2-a)(3-b)-3=0 e a \neq 4
(C) a b-3 a-2 b+7 \neq 0
(D) (a-2)(b+3) \neq 0 e a b-3 a \neq 0
(E) a \neq 1 e $b=2 a

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com incógnitas x_{1},x_{2},x_{3}:
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}=1,\\[4pt] 2x_{1}+a x_{2}-x_{3}=2a,\\[4pt] 3x_{1}+2x_{2}+b x_{3}=0. \end{array}\right.
O que nos pedem é: determinar as condições exatas sobre a e b que tornam o sistema impossível (inconsistente).
Informações relevantes dadas:
  • Os coeficientes da matriz do sistema dependem de a e b.
  • A impossibilidade ocorre quando não existe solução (ou seja, quando o posto da matriz dos coeficientes é menor que o posto da matriz aumentada).]

Passo 2

Lembrete matemático curto (útil para a prova):
  • Se A é a matriz dos coeficientes e \mathbf{b} o vetor dos termos constantes, então o sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} é:
    • determinado (uma única solução) quando \det(A)\neq0 (posto de A é 3);
    • ou tem infinitas soluções ou é impossível quando \det(A)=0 (posto de A\le2).
  • Para ser impossível é preciso que o posto da matriz aumentada seja maior que o posto da matriz dos coeficientes. Em termos práticos: quando \det(A)=0 devemos checar se a combinação linear das equações de coeficientes é incompatível com os termos do lado direito.

Passo 3

Escrevemos a matriz dos coeficientes A e a matriz aumentada [A|\mathbf{b}]:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & a & -1\\[4pt] 3 & 2 & b \end{pmatrix},\qquad [A|\mathbf{b}]=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1\\[4pt] 2 & a & -1 & | & 2a\\[4pt] 3 & 2 & b & | & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculemos o determinante \det(A). Usando a regra de Sarrus / expansão pela primeira linha:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}a & -1\\[2pt]2 & b\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[2pt]3 & b\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & a\\[2pt]3 & 2\end{pmatrix}.
Agora calculando cada menor:
\det(A)=1\cdot(ab+2)-1\cdot(2b+3)+1\cdot(4-3a).
Somando e simplificando:
\det(A)=ab+2-2b-3+4-3a=ab-2b-3a+3.
Reescrevendo em forma fatorada conveniente:
\det(A)=(a-2)(b-3)-3.
Observação importante: se \det(A)\neq0 o sistema tem solução única, logo não é impossível. Assim, para possibilidade de inconsitência é necessário ter
\det(A)=0\quad\Longleftrightarrow\quad (a-2)(b-3)-3=0.]

Passo 5

Agora analisamos o caso crítico \det(A)=0. Façamos eliminação de Gauss (operações por linhas) para ver a situação do posto e da consistência. Subtraindo 2 vezes a linha 1 da linha 2 e 3 vezes a linha 1 da linha 3 em [A|\mathbf{b}] obtemos:
\begin{array}{rcl} \text{L1} & : & [1\;\;1\;\;1\;|\;1],\\[4pt] \text{L2}' & = & \text{L2}-2\cdot\text{L1} = [0\;\;a-2\;\;-3\;|\;2(a-1)],\\[4pt] \text{L3}' & = & \text{L3}-3\cdot\text{L1} = [0\;\;-1\;\;b-3\;|\;-3]. \end{array}
As duas linhas que restaram para analisar são:
\text{L2}':\\ [a-2,\;-3\;|\;2(a-1)],\qquad \text{L3}':\\ [-1,\;b-3\;|\;-3]
(para clareza, escrevi só as colunas 2 e 3 dos coeficientes e a coluna dos termos).]

Passo 6

Quando \det(A)=0 as duas linhas de coeficientes [a-2,\,-3] e [-1,\;b-3] são linearmente dependentes (o determinante 2×2 dessas duas linhas é exatamente \det(A)). Isso significa que existe um escalar \lambda tal que
[a-2,\;-3]=\lambda\cdot[-1,\;b-3].
Determinamos \lambda pela primeira componente:
\lambda=\frac{a-2}{-1}=2-a.
Verificando a segunda componente (compatibilidade da dependência) dá:
-3=\lambda(b-3)=(2-a)(b-3).
Isso é exatamente a condição que já vem de \det(A)=0 (consistente com a expressão que obtivemos para \det(A)). Portanto, sob \det(A)=0 as duas linhas de coeficientes são proporcionais com razão \lambda=2-a.

Passo 7

Para que o sistema seja consistente (tenha solução) os termos do lado direito também devem obedecer à mesma proporcionalidade entre L2’ e L3’. Ou seja, devemos ter:
2(a-1)=\lambda\cdot(-3)=(2-a)(-3).
Vamos resolver essa igualdade para a:
2(a-1) = -3(2-a).
Expandindo:
2a-2 = -6 +3a.
Isolando a:
2a-2 +6 -3a =0 \quad\Rightarrow\quad -a+4=0 \quad\Rightarrow\quad a=4.
Interpretação: quando \det(A)=0 e a=4, as equações de coeficientes e o vetor de termos constantes são proporcionais de forma compatível, então o posto da matriz dos coeficientes e o da matriz aumentada coincidem (posto =2) e o sistema tem infinitas soluções. Porém, se \det(A)=0 e a\neq4, a proporcionalidade das linhas de coeficientes não se estende aos termos independentes: o posto da matriz aumentada [A|\mathbf{b}] será maior que o posto de A, logo o sistema será impossível (inconsistente).

Passo 8

Resumo do que encontramos:
  • condição necessária para possibilidade de inconsitência: \det(A)=0, i.e. (a-2)(b-3)-3=0.
  • para distinguir entre infinitas soluções e impossibilidade, verificamos a: se a=4 então o sistema tem infinitas soluções; se a\neq4 então o sistema é impossível. Portanto as condições exatas para o sistema ser impossível são
(a-2)(b-3)-3=0\quad\text{e}\quad a\neq4.

Resposta

(B)