nas incógnitas x_{1}, x_{2}, x_{3}. Assinale a alternativa que contém as condições exatas sobre a e b que tornam esse sistema impossível.
(A) (a-2)(b+3)+1=0 e a \neq 1
(B) (2-a)(3-b)-3=0 e a \neq 4
(C) a b-3 a-2 b+7 \neq 0
(D) (a-2)(b+3) \neq 0 e a b-3 a \neq 0
(E) a \neq 1 e $b=2 a
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear com incógnitas x_{1},x_{2},x_{3}:
O que nos pedem é: determinar as condições exatas sobre a e b que tornam o sistema impossível (inconsistente).
Informações relevantes dadas:
Os coeficientes da matriz do sistema dependem de a e b.
A impossibilidade ocorre quando não existe solução (ou seja, quando o posto da matriz dos coeficientes é menor que o posto da matriz aumentada).]
Passo 2
Lembrete matemático curto (útil para a prova):
Se A é a matriz dos coeficientes e \mathbf{b} o vetor dos termos constantes, então o sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} é:
determinado (uma única solução) quando \det(A)\neq0 (posto de A é 3);
ou tem infinitas soluções ou é impossível quando \det(A)=0 (posto de A\le2).
Para ser impossível é preciso que o posto da matriz aumentada seja maior que o posto da matriz dos coeficientes. Em termos práticos: quando \det(A)=0 devemos checar se a combinação linear das equações de coeficientes é incompatível com os termos do lado direito.
Passo 3
Escrevemos a matriz dos coeficientes A e a matriz aumentada [A|\mathbf{b}]:
Agora analisamos o caso crítico \det(A)=0. Façamos eliminação de Gauss (operações por linhas) para ver a situação do posto e da consistência. Subtraindo 2 vezes a linha 1 da linha 2 e 3 vezes a linha 1 da linha 3 em [A|\mathbf{b}] obtemos:
(para clareza, escrevi só as colunas 2 e 3 dos coeficientes e a coluna dos termos).]
Passo 6
Quando \det(A)=0 as duas linhas de coeficientes [a-2,\,-3] e [-1,\;b-3] são linearmente dependentes (o determinante 2×2 dessas duas linhas é exatamente \det(A)). Isso significa que existe um escalar \lambda tal que
[a-2,\;-3]=\lambda\cdot[-1,\;b-3].
Determinamos \lambda pela primeira componente:
\lambda=\frac{a-2}{-1}=2-a.
Verificando a segunda componente (compatibilidade da dependência) dá:
-3=\lambda(b-3)=(2-a)(b-3).
Isso é exatamente a condição que já vem de \det(A)=0 (consistente com a expressão que obtivemos para \det(A)). Portanto, sob \det(A)=0 as duas linhas de coeficientes são proporcionais com razão \lambda=2-a.
Passo 7
Para que o sistema seja consistente (tenha solução) os termos do lado direito também devem obedecer à mesma proporcionalidade entre L2’ e L3’. Ou seja, devemos ter:
Interpretação: quando \det(A)=0 e a=4, as equações de coeficientes e o vetor de termos constantes são proporcionais de forma compatível, então o posto da matriz dos coeficientes e o da matriz aumentada coincidem (posto =2) e o sistema tem infinitas soluções. Porém, se \det(A)=0 e a\neq4, a proporcionalidade das linhas de coeficientes não se estende aos termos independentes: o posto da matriz aumentada [A|\mathbf{b}] será maior que o posto de A, logo o sistema será impossível (inconsistente).
Passo 8
Resumo do que encontramos:
condição necessária para possibilidade de inconsitência: \det(A)=0, i.e.(a-2)(b-3)-3=0.
para distinguir entre infinitas soluções e impossibilidade, verificamos a: se a=4 então o sistema tem infinitas soluções; se a\neq4 então o sistema é impossível. Portanto as condições exatas para o sistema ser impossível são