Sejam f, g: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} duas funções de classe C^{\infty}, com f>0. Defina \alpha: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} por
\alpha(t)=\left(\int_{a}^{t} f(u) \operatorname{sen}(u) \mathrm{d} u, \int_{a}^{t} f(u) \cos (u) \mathrm{d} u, \int_{a}^{t} f(u) g(u) \mathrm{d} u\right)
(a) Mostre que a curvatura e a torção de \alpha são dadas por:
k(t)=\frac{1}{f(t)} \sqrt{\frac{1+g^{2}(t)+g^{\prime 2}(t)}{\left(1+g^{2}(t)\right)^{3}}} \quad \text { e } \quad \tau(t)=\frac{1}{f(t)} \frac{g(t)+g^{\prime \prime}(t)}{1+g^{2}(t)+g^{\prime 2}(t)}
(b) Obtenha uma condição necessária e suficiente para que \alpha seja uma curva plana;
(c) Exiba uma tal \alpha que seja plana.

Passo 1

O enunciado dá duas funções f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} de classe C^{\infty} com f(t)>0 para todo t. Define-se a curva \alpha:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 por
\alpha(t)=\left(\int_{a}^{t} f(u)\sin(u)\,\mathrm{d}u,\;\int_{a}^{t} f(u)\cos(u)\,\mathrm{d}u,\;\int_{a}^{t} f(u)g(u)\,\mathrm{d}u\right).
O que se pede:
(a) Mostrar que a curvatura e a torção de \alpha são
k(t)=\frac{1}{f(t)}\sqrt{\frac{1+g^{2}(t)+g^{\prime 2}(t)}{\left(1+g^{2}(t)\right)^{3}}} \qquad\text{e}\qquad \tau(t)=\frac{1}{f(t)}\frac{g(t)+g^{\prime\prime}(t)}{1+g^{2}(t)+g^{\prime 2}(t)}.
(b) Obter condição necessária e suficiente para que \alpha seja curva plana.
(c) Exibir um exemplo concreto de \alpha plana.
Reúno as informações dadas úteis para os cálculos: f,f',f'',\dots e g,g',g'',\dots são bem definidas e suaves, e f(t)>0.

Passo 2

Primeiro calculo derivadas de \alpha e algumas quantidades básicas que vamos usar. Isso é só aplicar diferenciação de integrais (Teorema Fundamental do Cálculo) e regras do produto.
Derivando coordenada a coordenada:
\alpha'(t)=\big(f(t)\sin t,\; f(t)\cos t,\; f(t)g(t)\big).
O módulo (velocidade) é
\|\alpha'(t)\|=f(t)\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t+g^2(t)}=f(t)\sqrt{1+g^2(t)}.
Como f>0, não há mudança de sinal a considerar. A unidade tangente seria T=\dfrac{\alpha'}{\|\alpha'\|}, mas para as fórmulas a seguir usarei \alpha',\alpha'',\alpha'''.
Calculo \alpha''(t) por derivação termo a termo (produto):
\alpha''(t)=\big(f'(t)\sin t+f(t)\cos t,\; f'(t)\cos t-f(t)\sin t,\; f'(t)g(t)+f(t)g'(t)\big).
Recordo as fórmulas práticas (essas são fundamentais; explico o porquê brevemente):
  • Curvatura para parâmetro arbitrário t:
k(t)=\frac{\|\alpha'(t)\times\alpha''(t)\|}{\|\alpha'(t)\|^{3}}.
Isto vem da definição k= \|\mathrm{d}T/\mathrm{d}s\| e da relação entre derivadas em t e em comprimento de arco; em cálculo prático para \alpha(t) essa forma é a mais conveniente.
  • Torção para parâmetro arbitrário t (convenção usual que leva um sinal negativo):
\tau(t)=-\,\frac{(\alpha'(t)\times\alpha''(t))\cdot\alpha'''(t)}{\|\alpha'(t)\times\alpha''(t)\|^{2}}.
Essa fórmula mede o quanto a triédrica de Frenet “torce” e é adequada para parâmetro não-isométrico. O sinal menos aparece na forma padrão quando se usa derivadas em t.
Vou calcular \alpha'\times\alpha'' e depois \alpha''' para aplicar as fórmulas.

Passo 3

Calculo explícito do produto vetorial \alpha'\times\alpha''.
Escrevo, para abreviar, s=\sin t, c=\cos t, g=g(t), g'=g'(t), f=f(t). Então
\alpha'=(f s,\; f c,\; f g),\qquad \alpha''=(f' s+f c,\; f' c-f s,\; f' g+f g').
O produto vetorial é o determinante:
\alpha'\times\alpha''= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[2pt] f s & f c & f g\\[2pt] f' s+f c & f' c-f s & f' g+f g' \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente (mostro os passos para não pular):
  • Componente \mathbf{i}:
(f c)(f' g+f g')-(f g)(f' c-f s)=f^2(c g'+g s).
  • Componente \mathbf{j} (atenção ao sinal negativo do cofactor):
-\big((f s)(f' g+f g')-(f g)(f' s+f c)\big)=f^2(g c-s g').
  • Componente \mathbf{k}:
(f s)(f' c-f s)-(f c)(f' s+f c)=-f^2.
Logo
\alpha'(t)\times\alpha''(t)=f(t)^2\big(c g'+g s,\; g c-s g',\; -1\big).
Agora calculo o quadrado do módulo:
\|\alpha'\times\alpha''\|^2=f^4\big((c g'+g s)^2+(g c-s g')^2+(-1)^2\big).
As duas primeiras parcelas somam (ao expandir) g'^2+g^2 (os termos mistos se cancelam), portanto
\|\alpha'\times\alpha''\|^2=f^4\big(1+g^2+g'^2\big).
Assim
\|\alpha'\times\alpha''\|=f^2\sqrt{1+g^2+g'^2}.
Substituo na fórmula da curvatura:
k(t)=\frac{\|\alpha'\times\alpha''\|}{\|\alpha'\|^3} =\frac{f^2\sqrt{1+g^2+g'^2}}{\big(f\sqrt{1+g^2}\big)^3} =\frac{1}{f}\sqrt{\frac{1+g^2+g'^2}{(1+g^2)^3}}.
Isso coincide com a expressão pedida para k(t).]

Passo 4

Agora calculo a torção. Preciso de \alpha'''(t). Diferenciando \alpha'' componente a componente (usando produto e derivadas de s,c):
\alpha''(t)=\big(f's+fc,\; f'c-fs,\; f'g+fg'\big).
Derivando:
\alpha'''(t)=\big(f''s+2f'c-fs,\; f''c-2f's-fc,\; f''g+2f'g'+fg''\big).
Já temos \alpha'\times\alpha''=f^2(A,B,-1) com A=c g'+g s, B=g c-s g'. Faço o produto escalar:
(\alpha'\times\alpha'')\cdot\alpha'''=f^2\big(A\cdot\alpha'''_1+B\cdot\alpha'''_2-1\cdot\alpha'''_3\big).
Substituindo \alpha'''_1,\alpha'''_2,\alpha'''_3 e expandindo (mostro os termos essenciais e as simplificações que acontecem):
  • Os termos que contêm f'' somam f^2 f''(A s + B c - g). Calcula-se A s + B c = g (verifique multiplicando) portanto esses termos anulam-se.
  • Os termos que contêm f' somam 2f^2 f'(A c - B s - g'). Calcula-se A c - B s = g' (verifique) e esses termos também se anulam.
  • O restante é o termo com f, que fica
(\alpha'\times\alpha'')\cdot\alpha''' = -f^3\big(A s + B c + g''\big).
Como já vimos A s + B c = g, isso reduz para
(\alpha'\times\alpha'')\cdot\alpha''' = -f^3\big(g+g''\big).
Usando a fórmula da torção para parâmetro arbitrário (com o sinal negativo na convenção):
\tau(t)=-\frac{(\alpha'\times\alpha'')\cdot\alpha'''}{\|\alpha'\times\alpha''\|^2} =-\frac{-f^3\big(g+g''\big)}{f^4\big(1+g^2+g'^2\big)} =\frac{1}{f}\frac{g+g''}{1+g^2+g'^2}.
Isto coincide com a expressão pedida para \tau(t).

Passo 5

Conclusão do item (a): obtivemos explicitamente as fórmulas pedidas
k(t)=\frac{1}{f(t)}\sqrt{\frac{1+g^{2}(t)+g^{\prime 2}(t)}{\left(1+g^{2}(t)\right)^{3}}} \quad\text{e}\quad \tau(t)=\frac{1}{f(t)}\frac{g(t)+g^{\prime\prime}(t)}{1+g^{2}(t)+g^{\prime 2}(t)}.

Passo 6

Item (b): condição necessária e suficiente para \alpha ser plana.
Lembrete: em uma intervalo onde a curvatura k(t) não é nula, uma curva é plana se, e somente se, sua torção \tau(t) é identicamente zero nesse intervalo. Aqui, como f>0 e k(t) expressa-se como acima, a condição \tau(t)\equiv 0 é a condição natural. Assim:
\tau(t)\equiv 0\quad\Longleftrightarrow\quad g(t)+g''(t)\equiv 0.
Portanto a condição necessária e suficiente é
g''(t)+g(t)=0\quad\text{para todo }t,
ou seja, g satisfaz a equação diferencial linear de segunda ordem g''+g=0.
(Observação útil: se em algum ponto a curvatura fosse zero identicamente numa região a curva poderia ser reta nessa região — reta é caso especial de curva plana. A condição g''+g=0 garante \tau\equiv0, e onde k\not\equiv0 isso é equivalente a ser plana.)

Passo 7

Item (c): exibir uma curva \alpha que seja plana.
A equação g''+g=0 tem solução geral
g(t)=A\cos t+B\sin t\quad\text{com }A,B\in\mathbb{R}.
Escolho para simplicidade f(t)\equiv 1 (satisfeita f>0) e g(t)\equiv 0 (caso especial com A=B=0). Então
\alpha(t)=\left(\int_a^t \sin u\,\mathrm{d}u,\;\int_a^t \cos u\,\mathrm{d}u,\;\int_a^t 0\,\mathrm{d}u\right) =\big(-\cos t+\cos a,\;\sin t-\sin a,\;0\big).
Essa \alpha é simplesmente um arco de circunferência no plano z=0, portanto plana. Também se pode escolher, por exemplo, g(t)=\cos t e f\equiv 1; aí \alpha terá terceira coordenada \int_a^t \cos u\,\mathrm{d}u=\sin t-\sin a e a curva continuará sendo plana (pode provar-se \tau\equiv0 pela fórmula).

Resposta

k(t)=\dfrac{1}{f(t)}\sqrt{\dfrac{1+g^{2}(t)+g^{\prime 2}(t)}{\left(1+g^{2}(t)\right)^{3}}}
\tau(t)=\dfrac{1}{f(t)}\dfrac{g(t)+g^{\prime\prime}(t)}{1+g^{2}(t)+g^{\prime 2}(t)}
Condição necessária e suficiente para \alpha ser plana: g''(t)+g(t)=0 para todo t.
Exemplo de \alpha plana: com f(t)\equiv1 e g(t)\equiv0,
\alpha(t)=\big(-\cos t+\cos a,\;\sin t-\sin a,\;0\big).