Sejam f, g: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} duas funções de classe C^{\infty}, com f>0. Defina \alpha: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} por
\alpha(t)=\left(\int_{a}^{t} f(u) \operatorname{sen}(u) \mathrm{d} u, \int_{a}^{t} f(u) \cos (u) \mathrm{d} u, \int_{a}^{t} f(u) g(u) \mathrm{d} u\right)
(a) Mostre que a curvatura e a torção de \alpha são dadas por:
(b) Obtenha uma condição necessária e suficiente para que \alpha seja uma curva plana;
(c) Exiba uma tal \alpha que seja plana.
Passo 1
O enunciado dá duas funções f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} de classe C^{\infty} com f(t)>0 para todo t. Define-se a curva \alpha:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 por
(b) Obter condição necessária e suficiente para que \alpha seja curva plana.
(c) Exibir um exemplo concreto de \alpha plana.
Reúno as informações dadas úteis para os cálculos: f,f',f'',\dots e g,g',g'',\dots são bem definidas e suaves, e f(t)>0.
Passo 2
Primeiro calculo derivadas de \alpha e algumas quantidades básicas que vamos usar. Isso é só aplicar diferenciação de integrais (Teorema Fundamental do Cálculo) e regras do produto.
Como f>0, não há mudança de sinal a considerar. A unidade tangente seria T=\dfrac{\alpha'}{\|\alpha'\|}, mas para as fórmulas a seguir usarei \alpha',\alpha'',\alpha'''.
Calculo \alpha''(t) por derivação termo a termo (produto):
Isto vem da definição k= \|\mathrm{d}T/\mathrm{d}s\| e da relação entre derivadas em t e em comprimento de arco; em cálculo prático para \alpha(t) essa forma é a mais conveniente.
Torção para parâmetro arbitrário t (convenção usual que leva um sinal negativo):
Essa fórmula mede o quanto a triédrica de Frenet “torce” e é adequada para parâmetro não-isométrico. O sinal menos aparece na forma padrão quando se usa derivadas em t.
Vou calcular \alpha'\times\alpha'' e depois \alpha''' para aplicar as fórmulas.
Passo 3
Calculo explícito do produto vetorial \alpha'\times\alpha''.
Escrevo, para abreviar, s=\sin t, c=\cos t, g=g(t), g'=g'(t), f=f(t). Então
\alpha'=(f s,\; f c,\; f g),\qquad \alpha''=(f' s+f c,\; f' c-f s,\; f' g+f g').
O produto vetorial é o determinante:
\alpha'\times\alpha''= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[2pt] f s & f c & f g\\[2pt] f' s+f c & f' c-f s & f' g+f g' \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente (mostro os passos para não pular):
Componente \mathbf{i}:
(f c)(f' g+f g')-(f g)(f' c-f s)=f^2(c g'+g s).
Componente \mathbf{j} (atenção ao sinal negativo do cofactor):
Item (b): condição necessária e suficiente para \alpha ser plana.
Lembrete: em uma intervalo onde a curvatura k(t) não é nula, uma curva é plana se, e somente se, sua torção \tau(t) é identicamente zero nesse intervalo. Aqui, como f>0 e k(t) expressa-se como acima, a condição \tau(t)\equiv 0 é a condição natural. Assim:
ou seja, g satisfaz a equação diferencial linear de segunda ordem g''+g=0.
(Observação útil: se em algum ponto a curvatura fosse zero identicamente numa região a curva poderia ser reta nessa região — reta é caso especial de curva plana. A condição g''+g=0 garante \tau\equiv0, e onde k\not\equiv0 isso é equivalente a ser plana.)
Essa \alpha é simplesmente um arco de circunferência no plano z=0, portanto plana. Também se pode escolher, por exemplo, g(t)=\cos t e f\equiv 1; aí \alpha terá terceira coordenada \int_a^t \cos u\,\mathrm{d}u=\sin t-\sin a e a curva continuará sendo plana (pode provar-se \tau\equiv0 pela fórmula).
Resposta
k(t)=\dfrac{1}{f(t)}\sqrt{\dfrac{1+g^{2}(t)+g^{\prime 2}(t)}{\left(1+g^{2}(t)\right)^{3}}} \tau(t)=\dfrac{1}{f(t)}\dfrac{g(t)+g^{\prime\prime}(t)}{1+g^{2}(t)+g^{\prime 2}(t)}
Condição necessária e suficiente para \alpha ser plana: g''(t)+g(t)=0 para todo t.
Exemplo de \alpha plana: com f(t)\equiv1 e g(t)\equiv0, \alpha(t)=\big(-\cos t+\cos a,\;\sin t-\sin a,\;0\big).