Sejam as matrizes A e C invertíveis. Determine a inversa dessas matrizes usando as operações por linha (o escalonamento).
A=(ccc 2 & 5 & 5 -1 & -1 & 0 2 & 4 & 3 ) e C=(cccc 1 & -1 & 0 & 3 2 & 5 & 2 & 6 0 & 1 & 0 & 0 1 & 4 & 2 & 1 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as inversas das matrizes e usando operações por linha, que também chamamos de escalonamento. Para isso, vamos precisar montar matrizes aumentadas com e junto com as matrizes identidade correspondentes e aplicar operações de linha para transformar as primeiras em identidades. Conforme fazemos isso, as identidades vão se transformando nas inversas das matrizes originais.

Passo 2

Vamos começar invertendo a matriz [ccc|ccc 2 & 5 & 5 & 1 & 0 & 0 -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 2 & 4 & 3 & 0 & 0 & 1 ] . Primeiro, montamos a matriz aumentada , onde é a matriz identidade de ordem 3:

Passo 3

Nosso objetivo é transformar a parte da esquerda ( R1 div 2 Rightarrow [ccc|ccc 1 & 2.5 & 2.5 & 0.5 & 0 & 0 -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 2 & 4 & 3 & 0 & 0 & 1 ] ) em uma matriz identidade usando operações de linha. Para isso, vamos começar pelo primeiro elemento da primeira linha.
Primeiro, vamos tornar o elemento igual a 1 dividindo toda a primeira linha por 2:

Passo 4

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo de R2 + R1 Rightarrow [ccc|ccc 1 & 2.5 & 2.5 & 0.5 & 0 & 0 0 & 1.5 & 2.5 & 0.5 & 1 & 0 2 & 4 & 3 & 0 & 0 & 1 ] (que estão na segunda e terceira linhas).
Para a segunda linha ( R3 - 2R1 Rightarrow [ccc|ccc 1 & 2.5 & 2.5 & 0.5 & 0 & 0 0 & 1.5 & 2.5 & 0.5 & 1 & 0 0 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 ] ), somamos a primeira linha multiplicada por 1:
Para a terceira linha ( ), subtraímos a primeira linha multiplicada por 2:

Passo 5

Agora, vamos focar no segundo pivô, que é R2 div 1.5 Rightarrow [ccc|ccc 1 & 2.5 & 2.5 & 0.5 & 0 & 0 0 & 1 & 53 & 13 & 23 & 0 0 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 ] . Vamos torná-lo 1 dividindo toda a segunda linha por 1.5:

Passo 6

Vamos eliminar os elementos acima e abaixo de R1 - 2.5R2 Rightarrow [ccc|ccc 1 & 0 & -16 & 16 & -56 & 0 0 & 1 & 53 & 13 & 23 & 0 0 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 ] .
Para a primeira linha ( R3 + R2 Rightarrow [ccc|ccc 1 & 0 & -16 & 16 & -56 & 0 0 & 1 & 53 & 13 & 23 & 0 0 & 0 & -13 & -23 & 23 & 1 ] ), subtraímos 2.5 vezes a segunda linha:
Para a terceira linha ( ), somamos a segunda linha:

Passo 7

Agora, vamos tratar do terceiro pivô R3 times (-3) Rightarrow [ccc|ccc 1 & 0 & -16 & 16 & -56 & 0 0 & 1 & 53 & 13 & 23 & 0 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & -3 ] . Para torná-lo 1, multiplicamos a terceira linha por -3:

Passo 8

Vamos eliminar os elementos acima do terceiro pivô.
Para a segunda linha ( R2 - 53R3 Rightarrow [ccc|ccc 1 & 0 & -16 & 16 & -56 & 0 0 & 1 & 0 & -32 & 166 & 5 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & -3 ] ), subtraímos R1 + 16R3 Rightarrow [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 16 + 13 & -56 - 13 & -12 0 & 1 & 0 & -32 & 83 & 5 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & -3 ] vezes a terceira linha:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 12 & -1 & -12 0 & 1 & 0 & -32 & 83 & 5 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & -3 ]
Para a primeira linha ( ), somamos vezes a terceira linha:
Simplificando:

Passo 9

Agora que a parte esquerda é a matriz identidade, a parte da direita é a inversa de A^-1 = (ccc 12 & -1 & -12 -32 & 83 & 5 2 & -2 & -3 ) . Então, temos:

Passo 10

Agora, vamos inverter a matriz [cccc|cccc 1 & -1 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 2 & 5 & 2 & 6 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 1 & 4 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ] . Vamos montar a matriz aumentada , onde é a matriz identidade de ordem 4:

Passo 11

Nosso objetivo é transformar a parte da esquerda ( R2 - 2R1 Rightarrow [cccc|cccc 1 & -1 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 7 & 2 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 1 & 4 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ] ) em uma matriz identidade usando operações de linha. Vamos começar pelo primeiro elemento da primeira coluna.
Já temos R4 - R1 Rightarrow [cccc|cccc 1 & -1 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 7 & 2 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 5 & 2 & -2 & -1 & 0 & 0 & 1 ] , que é bom. Vamos eliminar os elementos abaixo dele.
Para a segunda linha ( ), subtraímos 2 vezes a primeira linha:
Para a quarta linha ( ), subtraímos a primeira linha:

Passo 12

Agora, vamos focar no segundo pivô R2 div 7 Rightarrow [cccc|cccc 1 & -1 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 27 & 0 & -27 & 17 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 5 & 2 & -2 & -1 & 0 & 0 & 1 ] . Vamos torná-lo 1 dividindo toda a segunda linha por 7:

Passo 13

Vamos eliminar os elementos acima e abaixo de R1 + R2 Rightarrow [cccc|cccc 1 & 0 & 27 & 3 & 57 & 17 & 0 & 0 0 & 1 & 27 & 0 & -27 & 17 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 5 & 2 & -2 & -1 & 0 & 0 & 1 ] .
Para a primeira linha ( R3 - R2 Rightarrow [cccc|cccc 1 & 0 & 27 & 3 & 57 & 17 & 0 & 0 0 & 1 & 27 & 0 & -27 & 17 & 0 & 0 0 & 0 & -27 & 0 & 27 & -17 & 1 & 0 0 & 5 & 2 & -2 & -1 & 0 & 0 & 1 ] ), somamos a segunda linha:
R4 - 5R2 Rightarrow [cccc|cccc 1 & 0 & 27 & 3 & 57 & 17 & 0 & 0 0 & 1 & 27 & 0 & -27 & 17 & 0 & 0 0 & 0 & -27 & 0 & 27 & -17 & 1 & 0 0 & 0 & 47 & -2 & 37 & -57 & 0 & 1 ]
Para a terceira linha ( ), subtraímos a segunda linha:
Para a quarta linha ( ), subtraímos 5 vezes a segunda linha:

Passo 14

Agora, vamos focar no terceiro pivô R3 times (-72) Rightarrow [cccc|cccc 1 & 0 & 27 & 3 & 57 & 17 & 0 & 0 0 & 1 & 27 & 0 & -27 & 17 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 12 & -72 & 0 0 & 0 & 47 & -2 & 37 & -57 & 0 & 1 ] . Vamos torná-lo 1 multiplicando a terceira linha por :

Passo 15

Vamos eliminar os elementos acima e abaixo de R1 - 27R3 Rightarrow [cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 3 & 57 + 27 & 17 - 17 & 147 & 0 0 & 1 & 27 & 0 & -27 & 17 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 12 & -72 & 0 0 & 0 & 47 & -2 & 37 & -57 & 0 & 1 ] .
Para a primeira linha ( [cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 3 & 1 & 0 & 2 & 0 0 & 1 & 27 & 0 & -27 & 17 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 12 & -72 & 0 0 & 0 & 47 & -2 & 37 & -57 & 0 & 1 ] ), subtraímos R2 - 27R3 Rightarrow [cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 3 & 1 & 0 & 2 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & -27 + 27 & 17 - 17 & 147 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 12 & -72 & 0 0 & 0 & 47 & -2 & 37 & -57 & 0 & 1 ] vezes a terceira linha:
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 3 & 1 & 0 & 2 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 12 & -72 & 0 0 & 0 & 47 & -2 & 37 & -57 & 0 & 1 ]
Simplificando:
R4 - 47R3 Rightarrow [cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 3 & 1 & 0 & 2 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 12 & -72 & 0 0 & 0 & 0 & -2 & 37 + 47 & -57 - 27 & 4 & 1 ]
Para a segunda linha ( [cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 3 & 1 & 0 & 2 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 12 & -72 & 0 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & -1 & 4 & 1 ] ), subtraímos vezes a terceira linha:
Simplificando:
Para a quarta linha ( ), subtraímos vezes a terceira linha:
Simplificando:

Passo 16

Agora, vamos focar no quarto pivô R4 div (-2) Rightarrow [cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 3 & 1 & 0 & 2 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 12 & -72 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -12 & 12 & -2 & -12 ] . Vamos torná-lo 1 dividindo a quarta linha por -2:

Passo 17

Vamos eliminar os elementos acima do quarto pivô.
Para a primeira linha ( R1 - 3R4 Rightarrow [cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 1 + 32 & 0 - 32 & 8 & 32 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 12 & -72 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -12 & 12 & -2 & -12 ] ), subtraímos 3 vezes a quarta linha:
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 52 & -32 & 8 & 32 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 12 & -72 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -12 & 12 & -2 & -12 ]
Simplificando:

Passo 18

Agora, verificamos que todas as colunas da parte da esquerda são identidades. Portanto, a parte da direita é a inversa de C^-1 = (cccc 52 & -32 & 8 & 32 0 & 0 & 2 & 0 -1 & 12 & -72 & 0 -12 & 12 & -2 & -12 ) . Então, temos:

Resposta

As inversas das matrizes são:
A^-1 = 12 & -1 & -12 -32 & 83 & 5 2 & -2 & -3
e
C^-1 = 52 & -32 & 8 & 32 0 & 0 & 2 & 0 -1 & 12 & -72 & 0 -12 & 12 & -2 & -12

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