Sejam as matrizes A e C invertíveis. Determine a inversa dessas matrizes usando as operações por linha (o escalonamento).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as inversas das matrizes e usando operações por linha, que também chamamos de escalonamento. Para isso, vamos precisar montar matrizes aumentadas com e junto com as matrizes identidade correspondentes e aplicar operações de linha para transformar as primeiras em identidades. Conforme fazemos isso, as identidades vão se transformando nas inversas das matrizes originais.
Passo 2
Vamos começar invertendo a matriz [ccc|ccc 2 & 5 & 5 & 1 & 0 & 0 -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 2 & 4 & 3 & 0 & 0 & 1 ] . Primeiro, montamos a matriz aumentada , onde é a matriz identidade de ordem 3:
Passo 3
Nosso objetivo é transformar a parte da esquerda ( R1 div 2 Rightarrow [ccc|ccc 1 & 2.5 & 2.5 & 0.5 & 0 & 0 -1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 2 & 4 & 3 & 0 & 0 & 1 ] ) em uma matriz identidade usando operações de linha. Para isso, vamos começar pelo primeiro elemento da primeira linha.
Primeiro, vamos tornar o elemento igual a 1 dividindo toda a primeira linha por 2:
Passo 4
Agora, vamos eliminar os elementos abaixo de R2 + R1 Rightarrow [ccc|ccc 1 & 2.5 & 2.5 & 0.5 & 0 & 0 0 & 1.5 & 2.5 & 0.5 & 1 & 0 2 & 4 & 3 & 0 & 0 & 1 ] (que estão na segunda e terceira linhas).
Para a segunda linha ( R3 - 2R1 Rightarrow [ccc|ccc 1 & 2.5 & 2.5 & 0.5 & 0 & 0 0 & 1.5 & 2.5 & 0.5 & 1 & 0 0 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 ] ), somamos a primeira linha multiplicada por 1:
Para a terceira linha (), subtraímos a primeira linha multiplicada por 2:
Passo 5
Agora, vamos focar no segundo pivô, que é R2 div 1.5 Rightarrow [ccc|ccc 1 & 2.5 & 2.5 & 0.5 & 0 & 0 0 & 1 & 53 & 13 & 23 & 0 0 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 ] . Vamos torná-lo 1 dividindo toda a segunda linha por 1.5:
Passo 6
Vamos eliminar os elementos acima e abaixo de R1 - 2.5R2 Rightarrow [ccc|ccc 1 & 0 & -16 & 16 & -56 & 0 0 & 1 & 53 & 13 & 23 & 0 0 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 ] .
Para a primeira linha ( R3 + R2 Rightarrow [ccc|ccc 1 & 0 & -16 & 16 & -56 & 0 0 & 1 & 53 & 13 & 23 & 0 0 & 0 & -13 & -23 & 23 & 1 ] ), subtraímos 2.5 vezes a segunda linha:
Para a terceira linha (), somamos a segunda linha:
Passo 7
Agora, vamos tratar do terceiro pivô R3 times (-3) Rightarrow [ccc|ccc 1 & 0 & -16 & 16 & -56 & 0 0 & 1 & 53 & 13 & 23 & 0 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & -3 ] . Para torná-lo 1, multiplicamos a terceira linha por -3:
Passo 8
Vamos eliminar os elementos acima do terceiro pivô.
Para a primeira linha (), somamos vezes a terceira linha:
Simplificando:
Passo 9
Agora que a parte esquerda é a matriz identidade, a parte da direita é a inversa de A^-1 = (ccc 12 & -1 & -12 -32 & 83 & 5 2 & -2 & -3 ) . Então, temos:
Agora, verificamos que todas as colunas da parte da esquerda são identidades. Portanto, a parte da direita é a inversa de C^-1 = (cccc 52 & -32 & 8 & 32 0 & 0 & 2 & 0 -1 & 12 & -72 & 0 -12 & 12 & -2 & -12 ) . Então, temos: