Sejam as matrizes
A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\\\ -1 & 3 & 2 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 2 & 0 & 3 \end{array}\right)
(a) Calcule \operatorname{det}(A) \mathrm{e} \operatorname{det}(B).
(b) Usando as propriedades dos determinantes, determine \operatorname{det}(A B).
(c) Calcule \operatorname{det}\left(A^{2}\right) \mathrm{e} \operatorname{det}\left(B^{3}\right) sem expandir diretamente, apenas utilizando propriedades.
(d) Verifique se \operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(B A).
(e) Calcule \operatorname{det}\left(A^{T}\right), \operatorname{det}\left(B^{T}\right) \mathrm{e} \operatorname{det}(A B)^{T}
(f) Calcule \operatorname{det}(2025 A).

Passo 1

Temos duas matrizes 3\times3,
A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 1 \\\\ -1 & 3 & 2 \\\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 2 & 0 & 3\end{pmatrix}.
O objetivo é usar definição e propriedades de determinante: expansão por cofatores,
\det(AB)=\det(A)\det(B),
\det(A^k)=\det(A)^k,
\det(cA)=c^n\det(A) para n=3,
e \det(A^T)=\det(A).

Passo 2

Para calcular \det(A) expandimos pela primeira linha:
\det(A) =2\det\begin{pmatrix}3&2\\\ 1&1\end{pmatrix} -0\cdot\det(\dots) +1\det\begin{pmatrix}-1&3\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Isso dá
2\,(3\cdot1-2\cdot1)+1\,((-1)\cdot1-3\cdot0) =2\cdot1 +(-1) =2-1=1.

Passo 3

Para calcular \det(B) expandimos também pela primeira linha:
\det(B) =1\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&3\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}0&1\\\ 2&3\end{pmatrix} +0\cdot\det(\dots).
Isso dá
1\,(1\cdot3-1\cdot0)-2\,(0\cdot3-1\cdot2) =3 -2\cdot(-2) =3+4=7.

Passo 4

Pela propriedade \det(AB)=\det(A)\det(B) temos
\det(AB)=1\cdot7=7.

Passo 5

Usando \det(A^2)=\det(A)^2 e \det(B^3)=\det(B)^3 obtemos
\det(A^2)=1^2=1, \quad \det(B^3)=7^3=343.

Passo 6

Como \det(BA)=\det(B)\det(A)=7\cdot1=7, vemos que \det(AB)=\det(BA)=7.

Passo 7

Pela propriedade \det(A^T)=\det(A) e \det((AB)^T)=\det(AB),
\det(A^T)=1,\quad \det(B^T)=7,\quad \det((AB)^T)=7.

Passo 8

Para \det(2025A) em dimensão 3 vale \det(cA)=c^3\det(A), então
\det(2025A)=2025^3\cdot1=2025^3.

Resposta

(a) \det(A)=1 e \det(B)=7.
(b) \det(AB)=7.
(c) \det(A^2)=1 e \det(B^3)=343.
(d) \det(AB)=\det(BA)=7.
(e) \det(A^T)=1, \det(B^T)=7 e \det((AB)^T)=7.
(f) \det(2025A)=2025^3.

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