Sejam ( a_{n} ) uma sequência e a um número positivo tais que
a \leq a_{n} \leq n^{2}
para todo n \in \mathbb{N}. Mostre que \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=1.

Passo 1

O enunciado dá uma sequência (a_n) e um número positivo a>0 tais que, para todo n\in\mathbb{N},
a \leq a_{n} \leq n^{2}.
O que é pedido: mostrar que
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_{n}} = 1.

Passo 2

Primeiro passo natural é aplicar a função raiz n-ésima à desigualdade dada. Como todas as quantidades são não-negativas (de fato a>0 e a_n\ge a>0), a operação de \,{}^{1/n} preserva a ordem. Assim obtemos, para todo n,
a^{1/n} \le a_n^{1/n} \le (n^{2})^{1/n}.
Vou trabalhar agora para calcular os limites das duas sequências de limite ( a^{1/n} e (n^{2})^{1/n}) e então usar o Teorema do Confronto (Squeeze).

Passo 3

Limite da sequência inferior a^{1/n}.
Explico a técnica: para lidar com potências em que o expoente depende de n, é útil usar logaritmo natural e a função exponencial, pois elas transformam potência em produto e permitem avaliar limites facilmente.
Como a>0, \ln a é uma constante real. Escrevo
a^{1/n} = \exp\!\bigl(\ln(a^{1/n})\bigr) = \exp\!\Bigl(\frac{\ln a}{n}\Bigr).
Agora note que \frac{\ln a}{n}\to 0 quando n\to\infty (dividir uma constante por n vai a zero). A função \exp é contínua, logo posso passar o limite para dentro:
\lim_{n\to\infty} a^{1/n} = \exp\Bigl(\lim_{n\to\infty} \frac{\ln a}{n}\Bigr) = \exp(0) = 1.
Intuição simples: qualquer número positivo fixo elevado à potência 1/n tende a 1 quando n cresce (por exemplo 2^{1/n}, 100^{1/n}, etc., todos vão para 1).

Passo 4

Limite da sequência superior (n^{2})^{1/n}.
Reescrevo
(n^{2})^{1/n} = n^{2/n} = \bigl(n^{1/n}\bigr)^{2}.
Então basta mostrar que n^{1/n}\to 1 quando n\to\infty. Faço o mesmo truque do logaritmo:
\ln\bigl(n^{1/n}\bigr) = \frac{\ln n}{n}.
Agora avalio \lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n}. Uma maneira rápida (comum em cálculo) é usar o L’Hôpital: como \lim_{x\to\infty}\ln x = \infty e \lim_{x\to\infty} x = \infty, aplicando L’Hôpital no contínuo x-análogo obtém-se
\lim_{x\to\infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x\to\infty} \frac{1/x}{1} = 0.
Portanto \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n} = 0. Voltando à exponencial,
\lim_{n\to\infty} n^{1/n} = \exp\!\Bigl(\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}\Bigr) = \exp(0) = 1.
Consequentemente
\lim_{n\to\infty} n^{2/n} = \bigl(\lim_{n\to\infty} n^{1/n}\bigr)^{2} = 1^{2} = 1.
(Dica de intuição: \ln n cresce muito mais devagar que n, por isso \ln n/n\to0.)

Passo 5

Aplicação do Teorema do Confronto (Squeeze).
Temos para todo n
a^{1/n} \le a_n^{1/n} \le n^{2/n},
e já mostramos que
\lim_{n\to\infty} a^{1/n} = 1 \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty} n^{2/n} = 1.
Pelo Teorema do Confronto, a sequência intermediária tem o mesmo limite:
\lim_{n\to\infty} a_n^{1/n} = 1.

Resposta

1