Sejam (
) uma sequência e
um número positivo tais que
para todo
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá uma sequência
e um número positivo
tais que, para todo
,
O que é pedido: mostrar que
Passo 2
Primeiro passo natural é aplicar a função raiz
-ésima à desigualdade dada. Como todas as quantidades são não-negativas (de fato
e
), a operação de
preserva a ordem. Assim obtemos, para todo
,
Vou trabalhar agora para calcular os limites das duas sequências de limite (
e
) e então usar o Teorema do Confronto (Squeeze).
Passo 3
Limite da sequência inferior
.
Explico a técnica: para lidar com potências em que o expoente depende de
, é útil usar logaritmo natural e a função exponencial, pois elas transformam potência em produto e permitem avaliar limites facilmente.
Como
,
é uma constante real. Escrevo
Agora note que
quando
(dividir uma constante por
vai a zero). A função
é contínua, logo posso passar o limite para dentro:
Intuição simples: qualquer número positivo fixo elevado à potência
tende a 1 quando
cresce (por exemplo
,
, etc., todos vão para 1).
Passo 4
Limite da sequência superior
.
Reescrevo
Então basta mostrar que
quando
. Faço o mesmo truque do logaritmo:
Agora avalio
. Uma maneira rápida (comum em cálculo) é usar o L’Hôpital: como
e
, aplicando L’Hôpital no contínuo
-análogo obtém-se
Portanto
. Voltando à exponencial,
Consequentemente
(Dica de intuição:
cresce muito mais devagar que
, por isso
.)
Passo 5
Aplicação do Teorema do Confronto (Squeeze).
Temos para todo
e já mostramos que
Pelo Teorema do Confronto, a sequência intermediária tem o mesmo limite: