Sejam A,B,C e D, nesta ordem, os vértices de um losango cujo lado mede 2 cm. Sendo de 30^circ o ângulo entre o lado AB e a diagonal maior AC, calcule:
|A B times A D| Resp:2 raiz3

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um losango com lados de e o ângulo entre o lado e a diagonal maior é de . Precisamos calcular o valor de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e trigonometria, especialmente a fórmula do produto vetorial em termos de magnitudes e o ângulo entre os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que em um losango, os lados são todos iguais e as diagonais se cruzam formando ângulos que são a soma dos ângulos internos do losango. Sabemos que a diagonais de um losango também são perpendiculares e se bisectam.

Passo 3

Sabemos que o ângulo entre o lado theta = 2 times 30^circ = 60^circ e a diagonal maior é de . Em um losango, as diagonais bisectam os ângulos internos. Então, o ângulo interno no vértice é o dobro desse ângulo, ou seja:

Passo 4

Agora, queremos encontrar o produto vetorial |u times v| = |u| cdot |v| cdot sin(theta) . A fórmula para o módulo do produto vetorial entre dois vetores e é:
onde é o ângulo entre os vetores.

Passo 5

No nosso caso, |AB times AD| = 2 cdot 2 cdot sin(60^circ) e . Substituindo esses valores na fórmula:

Passo 6

Sabemos que |AB times AD| = 4 cdot raiz32 = 2raiz3 . Então, substituindo:

Resposta

|AB times AD| = 2raiz3

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