Sejam o plano π :ax+by+cz+d=0 e o plano μ: 2x+y-z+2=0. Sabe que os planos são paralelos e que o plano π passa na origem do sistema cartesiano. Determine o valor de ( a + b + c + d), com a , b, c e d reais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois planos: o plano π dado por $ ax + by + cz + d = 0 $ e o plano μ dado por $ 2x + y - z + 2 = 0 $. A gente sabe que esses dois planos são paralelos e que o plano π passa pela origem do sistema cartesiano. Nosso objetivo é descobrir o valor de $ a + b + c + d $. Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos paralelos e como reconhecer quando dois planos são paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois planos são paralelos se eles têm os mesmos coeficientes angulares, ou seja, os coeficientes de $ x $, $ y $ e $ z $ são proporcionais. Isso significa que as equações dos planos podem ser escritas de forma que uma seja um múltiplo da outra.
No nosso caso, o plano μ tem a equação $ 2x + y - z + 2 = 0 $. Vamos comparar isso com a equação do plano π: $ ax + by + cz + d = 0 $.

Passo 3

Como os planos são paralelos, os coeficientes de $ x $, $ y $ e $ z $ no plano π devem ser múltiplos dos coeficientes correspondentes no plano μ. Então, podemos escrever:
x
Vamos chamar essa proporção de $ k $, onde $ k $ é uma constante real. Então:
y

Passo 4

Além disso, sabemos que o plano π passa pela origem do sistema cartesiano, ou seja, o ponto (0, 0, 0) satisfaz a equação do plano π. Vamos substituir $ x = 0 $, $ y = 0 $, e $ z = 0 $ na equação $ ax + by + cz + d = 0 $:
x = 0

Passo 5

Agora, temos que $ d = 0 $, e já expressamos $ a $, $ b $ e $ c $ em termos de $ k $:
d = 0
Então, a soma $ a + b + c + d $ fica:
a

Passo 6

Para determinar o valor de $ k $, podemos usar a condição de que os planos são paralelos e não coincidentes, já que um passa pela origem e o outro não.
Considerando a equação do plano μ: $ 2x + y - z + 2 = 0 $, e a de π: $ 2k x + k y - k z = 0 $.
Para que os planos sejam distintos e paralelos, a constante $ d $ no plano μ deve ser diferente da constante no plano π. Como já determinamos que $ d = 0 $ no plano π, a relação entre as constantes nos permite encontrar $ k $.
Dividindo as duas equações:
k
Isso confirma que $ k $ pode ser qualquer valor real diferente de zero para manter os planos paralelos e distintos.

Resposta

Portanto, a soma $ a + b + c + d $ é igual a $ 2k $, onde $ k $ é uma constante real qualquer distinta de zero.

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