Primeiro, precisamos verificar se os quatro vetores dados são linearmente independentes. Isso nos dirá a dimensão do subespaço , ou seja, quantos vetores na base de são necessários.
Passo 3
Para saber se os vetores são linearmente independentes, montamos uma matriz com esses vetores como colunas e calculamos seu determinante ou fazemos uma redução de linha para ver o posto da matriz.
Vamos montar a matriz :
Passo 4
Aplicando a eliminação de Gauss para reduzir a matriz e encontrar o posto:
Primeira coluna: Já temos 1 no topo, então usamos ele para zerar os demais elementos abaixo.
Segunda coluna: Continuamos o processo para deixar a matriz em forma escalonada.
Repetimos até que a matriz esteja reduzida.
Após a redução, observamos que há 3 pivôs, ou seja, a matriz tem posto 3. Isso significa que apenas 3 dos 4 vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Como é gerado por 4 vetores, mas esses apenas formam um conjunto de dimensão 3, então a dimensão de é 3. Portanto, uma base para tem 3 vetores.
Passo 6
Agora, a questão é se é uma base para . Sabemos que tem dimensão 5, o que significa que precisamos de 5 vetores linearmente independentes** para formar uma base.
Como já tem 3 vetores (base de ) e adicionamos mais 1 vetor , o total é de 4 vetores. Isso não é suficiente para , que precisa de 5 vetores.
Resposta
Não, o conjunto não é uma base para porque contém apenas 4 vetores, e são necessários 5 vetores linearmente independentes para formar uma base nesse espaço.