Sejam
variáveis aleatórias com função densidade conjunta dada por
e
variáveis aleatórias com densidade conjunta dada por
a) As variáveis
são independentes?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pergunta se as variáveis aleatórias
e
são independentes, dado que a função densidade conjunta delas é
para
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa duas variáveis serem independentes e como trabalhar com funções densidade conjunta e marginais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa que duas variáveis aleatórias são independentes. Duas variáveis
e
são independentes se a função densidade conjunta
for igual ao produto das funções densidade marginais de cada uma delas, ou seja:
Então, precisamos encontrar as funções densidade marginais
e
e verificar se seu produto é igual a
.
Passo 3
Vamos começar encontrando a função densidade marginal de
,
. Para isso, integramos a função densidade conjunta
em relação a
:
Passo 4
Calculando a integral:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função densidade marginal de
,
. Integramos a função densidade conjunta
em relação a
:
Passo 6
Calculando essa integral:
Sabemos que
(é uma integral conhecida da função densidade de uma distribuição exponencial).
Então,
Passo 7
Agora que temos
e
, vamos multiplicar essas duas funções e ver se é igual à função densidade conjunta
:
Passo 8
Vimos que
. Isso significa que a função densidade conjunta é igual ao produto das funções densidade marginais.
Resposta
Sim, as variáveis
e
são independentes.