Sejam X, Y variáveis aleatórias com função densidade conjunta dada por
f(x, y)=x e^-(x+y), x>0, y>0
e T,S variáveis aleatórias com densidade conjunta dada por
f(t, s)=43 t e^-(t+s), t>0,0
a) As variáveis X, Y são independentes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta se as variáveis aleatórias e são independentes, dado que a função densidade conjunta delas é para e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa duas variáveis serem independentes e como trabalhar com funções densidade conjunta e marginais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa que duas variáveis aleatórias são independentes. Duas variáveis f(x, y) = fX(x) cdot fY(y) e são independentes se a função densidade conjunta for igual ao produto das funções densidade marginais de cada uma delas, ou seja:
Então, precisamos encontrar as funções densidade marginais e e verificar se seu produto é igual a .

Passo 3

Vamos começar encontrando a função densidade marginal de fX(x) = integral0^infty f(x, y) , dy = integral0^infty x e^-(x + y) , dy , . Para isso, integramos a função densidade conjunta em relação a :

Passo 4

Calculando a integral:
fX(x) = x e^-x integral0^infty e^-y , dy = x e^-x [ -e^-y ]0^infty = x e^-x (0 - (-1)) = x e^-x

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função densidade marginal de fY(y) = integral0^infty f(x, y) , dx = integral0^infty x e^-(x + y) , dx , . Integramos a função densidade conjunta em relação a :

Passo 6

Calculando essa integral:
fY(y) = e^-y integral0^infty x e^-x , dx
Sabemos que fY(y) = e^-y cdot 1 = e^-y (é uma integral conhecida da função densidade de uma distribuição exponencial).
Então,

Passo 7

Agora que temos fX(x) cdot fY(y) = x e^-x cdot e^-y = x e^-(x + y) e , vamos multiplicar essas duas funções e ver se é igual à função densidade conjunta :

Passo 8

Vimos que . Isso significa que a função densidade conjunta é igual ao produto das funções densidade marginais.

Resposta

Sim, as variáveis e são independentes.

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