Sejam os vetores u=(2,-3,2) e v=(-1,2,4) em R^3.
(a) Escreva w=(7,-11,2) como combinação linear de u e v.
(b) O vetor (2,-5,4) pode ser escrito como combinação linear de u e v ? Justifique.
© Para que valores de k o vetor w=(-8,14, k) se escreve como combinação linear de u e ?
(d) Encontre condições sobre a, b e c de modo que o vetor w=(a, b, c) seja combinação linear de u e v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, u = (2, -3, 2) e v = (-1, 2, 4), no espaço tridimensional R^3. A missão é descobrir como outros vetores podem ser formados combinando esses dois vetores, ou seja, encontrando constantes que, quando multiplicadas por u e v e somadas, dão o vetor desejado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e resolver sistemas de equações.

Parte (a): Escreva w = (7, -11, 2) como combinação linear de u e v.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa expressar w como combinação linear de u e v. Queremos encontrar números escalares a e b tais que:
au + bv = w
Isso dá a gente o sistema de equações:
2a - b = 7 -3a + 2b = -11 2a + 4b = 2

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema. Vamos começar com as duas primeiras equações:
  1. 2a - b = 7 → Podemos isolar b: b = 2a - 7
  2. -3a + 2b = -11
Substituindo b na segunda equação:
-3a + 2(2a - 7) = -11 -3a + 4a - 14 = -11 a - 14 = -11 a = 3

Passo 4

Agora que temos a = 3, substituímos na expressão de b:
b = 2(3) - 7 b = 6 - 7 b = -1

Passo 5

Vamos conferir na terceira equação para garantir que está tudo certo:
2a + 4b = 2 2(3) + 4(-1) = 6 - 4 = 2
Confere! Então, os valores encontrados são a = 3 e b = -1.

Resposta

O vetor w = (7, -11, 2) pode ser escrito como combinação linear de u e v da seguinte forma:
w = 3u - v

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