Sejam os vetores A=3 imath+jmath-4 k e B=2 imath-3 jmath+k obtenha o produto escalar e o produto vetorial entre eles, utilizando a notação de determinante. Dica: Livro: Matemática Básica para Física (Páginas 52 a 55)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos o produto escalar e o produto vetorial entre os vetores e . Para isso, vamos precisar saber o que são produto escalar e produto vetorial, além de como usar determinantes para calculá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre A cdot B = Ax Bx + Ay By + Az Bz e . O produto escalar é uma operação que multiplica as componentes correspondentes dos vetores e depois soma esses produtos. A fórmula é:

Passo 3

Aplicando os valores dos vetores:
A cdot B = (3)(2) + (1)(-3) + (-4)(1) = 6 - 3 - 4 = -1

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial entre A times B = imath & jmath & k 3 & 1 & -4 2 & -3 & 1 e . O produto vetorial resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. Para calcular usando determinantes, organizamos os vetores em uma matriz com as componentes , , e :

Passo 5

Resolvendo o determinante:
A times B = imath cdot 1 & -4 -3 & 1 - jmath cdot 3 & -4 2 & 1 + k cdot 3 & 1 2 & -3
Calculando cada parte:
imath: & (1)(1) - (-4)(-3) = 1 - 12 = -11 jmath: & (3)(1) - (-4)(2) = 3 + 8 = 11 k: & (3)(-3) - (1)(2) = -9 - 2 = -11

Passo 6

Montando o vetor resultante:
A times B = -11 imath - 11 jmath - 11 k = -11 (imath + jmath + k)

Resposta

O produto escalar entre e é -1 e o produto vetorial é .

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