Sejam os vetores 
  e 
 . Verifique que 
  define um produto interno no 
 .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem dois vetores, 
  e 
 . O objetivo aqui é verificar se o produto 
  realmente define um produto interno no espaço 
 . Para isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Basicamente, é uma forma de multiplicar dois vetores que satisfaz algumas propriedades importantes, como:
- Positividade: O produto interno de um vetor consigo mesmo é sempre positivo, a menos que o vetor seja o vetor nulo.
 - Linearidade: O produto interno é linear em relação a cada um dos vetores.
 - Simetria: O produto interno é o mesmo se a gente trocar a ordem dos vetores.
 
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o nosso caso específico.
Passo 3
1. Positividade:
Queremos mostrar que 
  é sempre maior ou igual a zero e que é zero apenas quando 
  é o vetor nulo.
- Como 
e são sempre positivos ou zero, e multiplicados por números positivos (2 e 5), então .  - A soma será zero somente se 
e , ou seja, se for o vetor nulo.  
2. Linearidade:
Precisamos verificar se o produto interno é linear em cada vetor. Vamos checar na primeira componente:
- 
Se tivermos dois vetores
e e um escalar , então: Isso é igual a, mostrando que a linearidade é mantida.  
3. Simetria:
Vamos ver se 
 :
Como a multiplicação é comutativa (
  e 
 ), os dois resultados são iguais. Então, a simetria está satisfeita.
Resposta
Concluímos que o produto 
  satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um produto interno no espaço 
 .