Sejam
,
variáveis aleatórias independentes, com distribuição de Bernoulli, com parâmetros p .
Seja
. Prove que:
a)
b)
Seja
a)
b)
Passo 1
O enunciado considera
variáveis aleatórias independentes
, cada uma com distribuição de Bernoulli de parâmetro
, isto é,
Define-se
. Para mostrar os resultados, vamos usar (i) a linearidade da esperança e (ii) a propriedade de variância de somas de variáveis independentes.
Passo 2
Primeiro calculamos a esperança de cada
. Por definição de Bernoulli,
Passo 3
Agora usamos a linearidade da esperança para somas:
Passo 4
Em seguida, calculamos a variância de cada
. Pela definição,
Como
(porque
só assume os valores 0 ou 1),
Logo,
Passo 5
Por fim, como as variáveis
são independentes, a variância da soma é a soma das variâncias:
Resposta
a)
b)
b)