Sejam 
  subconjuntos do espaço vetorial 
 . Mostre que a soma do subespaço gerado por 
  e o subespaço gerado por 
  é o subespaço gerado por 
 .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subconjuntos, 
  e 
 , de um espaço vetorial 
 . O problema nos pede para mostrar que a soma dos subespaços gerados por 
  e 
  é igual ao subespaço gerado pela união desses conjuntos, ou seja, 
 . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa o subespaço gerado por um conjunto e como funciona a soma de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o subespaço gerado por um conjunto. O subespaço gerado por 
 , denotado por 
 , é o menor subespaço de 
  que contém todos os vetores de 
 . Isso significa que 
  inclui todas as combinações lineares possíveis dos vetores em 
 .
Passo 3
Agora, vamos entender a soma de dois subespaços. A soma 
  é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de 
  e um vetor de 
 . Ou seja,
Passo 4
Vamos agora mostrar que qualquer vetor em 
  pertence a 
  e vice-versa.
Primeiro, seja 
 . Então, 
  pode ser escrito como uma combinação linear de vetores de 
 . Podemos separar essa combinação em uma parte que envolve apenas vetores de 
  e outra que envolve apenas vetores de 
 , implicando que 
  está na soma 
 .
Por outro lado, seja 
 . Então, 
  é a soma de um vetor de 
  e um vetor de 
 . Cada um desses vetores pode ser expresso como combinações lineares de vetores de 
  e 
 , respectivamente. Portanto, 
  é também uma combinação linear de vetores de 
 , o que significa que 
 .
Resposta
Assim, mostramos que 
 .