Sejam
subconjuntos do espaço vetorial
. Mostre que a soma do subespaço gerado por
e o subespaço gerado por
é o subespaço gerado por
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subconjuntos,
e
, de um espaço vetorial
. O problema nos pede para mostrar que a soma dos subespaços gerados por
e
é igual ao subespaço gerado pela união desses conjuntos, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa o subespaço gerado por um conjunto e como funciona a soma de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o subespaço gerado por um conjunto. O subespaço gerado por
, denotado por
, é o menor subespaço de
que contém todos os vetores de
. Isso significa que
inclui todas as combinações lineares possíveis dos vetores em
.
Passo 3
Agora, vamos entender a soma de dois subespaços. A soma
é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
. Ou seja,
Passo 4
Vamos agora mostrar que qualquer vetor em
pertence a
e vice-versa.
Primeiro, seja
. Então,
pode ser escrito como uma combinação linear de vetores de
. Podemos separar essa combinação em uma parte que envolve apenas vetores de
e outra que envolve apenas vetores de
, implicando que
está na soma
.
Por outro lado, seja
. Então,
é a soma de um vetor de
e um vetor de
. Cada um desses vetores pode ser expresso como combinações lineares de vetores de
e
, respectivamente. Portanto,
é também uma combinação linear de vetores de
, o que significa que
.
Resposta
Assim, mostramos que
.