Sendo 192 m² a área total de uma pirâmide quadrangular regular e 3√2 m o raio do círculo inscrito na base, calcule a altura da pirâmide.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma pirâmide quadrangular regular. A gente sabe que a área total dessa pirâmide é 192 m² e que o raio do círculo inscrito na base é
m. Nosso objetivo é descobrir a altura dessa pirâmide. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre geometria das pirâmides, áreas de superfície e relações entre as medidas da base e a altura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma pirâmide quadrangular regular tem uma base que é um quadrado perfeito e quatro faces laterais triangulares iguais. A área total da pirâmide é a soma da área da base com a área das quatro faces laterais.
Passo 3
Como a base é um quadrado, podemos encontrar o lado do quadrado sabendo o raio do círculo inscrito. O raio do círculo inscrito em um quadrado está relacionado ao lado do quadrado pela fórmula:
Onde $ r $ é o raio e $ a $ é o lado do quadrado. Sabemos que $ r = 3\sqrt{2} $ m, então:
Passo 4
Agora que temos o lado da base ($ a = 6\sqrt{2} $ m), vamos calcular a área da base ($ A_{base} $):
Passo 5
Sabemos que a área total da pirâmide é 192 m². Então, a área das quatro faces laterais é:
Como são quatro faces iguais, a área de uma face lateral é:
Passo 6
Cada face lateral é um triângulo isósceles com base $ a = 6\sqrt{2} $ m e área $ 30 $ m². A fórmula da área do triângulo é:
Aqui, a “altura” do triângulo lateral não é a altura da pirâmide, mas a altura do triângulo em si, que é chamada de apótema ($ l $) da pirâmide. Então:
Passo 7
Agora, temos um triângulo retângulo formado pela altura da pirâmide ($ h
l = 5\sqrt{2} $ m) e a altura da base (metade do lado do quadrado, que é $ \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} $ m). Aplicamos o Teorema de Pitágoras:
Substituindo os valores:
Resposta
A altura da pirâmide é
metros.