Sendo 192 m² a área total de uma pirâmide quadrangular regular e 3√2 m o raio do círculo inscrito na base, calcule a altura da pirâmide.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma pirâmide quadrangular regular. A gente sabe que a área total dessa pirâmide é 192 m² e que o raio do círculo inscrito na base é 3raiz2 m. Nosso objetivo é descobrir a altura dessa pirâmide. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre geometria das pirâmides, áreas de superfície e relações entre as medidas da base e a altura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma pirâmide quadrangular regular tem uma base que é um quadrado perfeito e quatro faces laterais triangulares iguais. A área total da pirâmide é a soma da área da base com a área das quatro faces laterais.

Passo 3

Como a base é um quadrado, podemos encontrar o lado do quadrado sabendo o raio do círculo inscrito. O raio do círculo inscrito em um quadrado está relacionado ao lado do quadrado pela fórmula:
r = a2
Onde $ r $ é o raio e $ a $ é o lado do quadrado. Sabemos que $ r = 3\sqrt{2} $ m, então:
r

Passo 4

Agora que temos o lado da base ($ a = 6\sqrt{2} $ m), vamos calcular a área da base ($ A_{base} $):
a = 6raiz2 ²

Passo 5

Sabemos que a área total da pirâmide é 192 m². Então, a área das quatro faces laterais é:
Alateral = Atotal - Abase = 192 - 72 = 120 m² ²
Como são quatro faces iguais, a área de uma face lateral é:
Aface = 1204 = 30 m² ²

Passo 6

Cada face lateral é um triângulo isósceles com base $ a = 6\sqrt{2} $ m e área $ 30 $ m². A fórmula da área do triângulo é:
a = 6raiz2
Aqui, a “altura” do triângulo lateral não é a altura da pirâmide, mas a altura do triângulo em si, que é chamada de apótema ($ l $) da pirâmide. Então:
30

Passo 7

Agora, temos um triângulo retângulo formado pela altura da pirâmide ($ h h ó l = 5\sqrt{2} $ m) e a altura da base (metade do lado do quadrado, que é $ \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} $ m). Aplicamos o Teorema de Pitágoras:
l = 5raiz2
Substituindo os valores:
6raiz22 = 3raiz2

Resposta

A altura da pirâmide é 4raiz2 metros.

Exercícios relacionados