1. Sendo x e y algarismos do número 32 x 84 y, qual deve ser o menor valor atribuído a cada uma destas variáveis, tal que 32 x 84 y seja simultaneamente divisível por 3 e por 5 ?

Passo 1

O enunciado dá o número formado pelos dígitos 3,2,x,8,4,y, ou seja o número 32x84y. Pede-se: atribuir valores (algarismos) a x e a y de modo que o número seja simultaneamente divisível por 3 e por 5, e que esses valores sejam os menores possíveis.
Informações relevantes do enunciado:
  • x e y são algarismos, logo x,y\in\{0,1,2,\dots,9\}.
  • O número a considerar é 32x84y.
  • É exigido que 32x84y seja divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo.

Passo 2

Relembrando a regra de divisibilidade por 5 (com explicação didática):
  • Um número inteiro é divisível por 5 se, e somente se, o seu último dígito for 0 ou 5.
    Isto significa que y deve ser 0 ou 5.
Exemplo simples: 125 termina em 5 e é divisível por 5; 230 termina em 0 e é divisível por 5.

Passo 3

Relembrando a regra de divisibilidade por 3 (com explicação didática):
  • Um número inteiro é divisível por 3 se, e somente se, a soma dos seus dígitos for divisível por 3.
    Se escrevermos a soma dos dígitos do número 32x84y, ela deve ser múltiplo de 3.
Exemplo simples: 123 tem soma dos dígitos 1+2+3=6, que é múltiplo de 3, logo 123 é divisível por 3.

Passo 4

Calcular a soma dos dígitos conhecidos no número 32x84y:
3+2+8+4 = 17.
Portanto a soma total dos dígitos é
S = 17 + x + y.
Para que o número seja divisível por 3, é necessário que S seja múltiplo de 3, ou seja
17 + x + y \equiv 0 \pmod{3}.

Passo 5

Como queremos os menores valores possíveis para y, e pela regra de divisibilidade por 5 temos y\in\{0,5\}, o menor y possível é
y=0.

Passo 6

Com y=0 substituímos na condição de divisibilidade por 3:
17 + x + 0 \equiv 0 \pmod{3}\quad\Longrightarrow\quad 17 + x \equiv 0 \pmod{3}.
Calculemos 17\bmod 3: como 15 é múltiplo de 3, tem-se 17\equiv 2\pmod{3}. Assim a condição fica
2 + x \equiv 0 \pmod{3}\quad\Longrightarrow\quad x \equiv 1 \pmod{3}.
Os dígitos que satisfazem x\equiv 1\pmod{3} são x\in\{1,4,7\} dentro do intervalo 0 a 9. O menor desses é
x=1.

Passo 7

Verificação final (mostrando que realmente funciona):
  • Com x=1 e y=0 a soma dos dígitos fica
3+2+1+8+4+0 = 18,
e 18 é múltiplo de 3, logo o número é divisível por 3.
  • Como y=0, o número termina em 0 e portanto é divisível por 5.
    Logo o número é simultaneamente divisível por 3 e por 5.

Resposta

\,x=1
\,y=0