Sendo A a matriz do exercício 7 , calcule A^{2}, A^{4} e A^{10}. Utilize A^{2}=\left(M^{-1} D M\right)\left(M^{-1} D M\right)=M^{-1} D^{2} M, onde D é a matriz diagonal após diagonalização. Calcule A^{2} explicitamente e compare.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular A^{2},\;A^{4} e A^{10}.
  • Usar a ideia \;A^{2}=(M^{-1} D M)(M^{-1} D M)=M^{-1} D^{2} M, onde D é a matriz diagonal obtida na diagonalização.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • A única fórmula dada é a relação envolvendo M, D e potências de D.
Informação que falta e consequência:
  • A matriz A (a “matriz do exercício 7”) NÃO foi fornecida neste enunciado. Sem a matriz A — ou sem sua diagonalização (ou seja, sem M e D) — não é possível calcular numericamente A^{2},A^{4},A^{10}. Portanto os cálculos numéricos pedidos não podem ser feitos até que A (ou a sua diagonalização) seja informada.

Passo 2

Conceito e notação de diagonalização (a “aulinha” necessária).
  • Ideia: uma matriz A é diagonalizável se existe uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que
A = P D P^{-1}.
  • Significado das letras:
    • P (ou, no enunciado, M^{-1} dependendo da convenção) é a matriz cujas colunas são vetores próprios (autovetores) de A.
    • D é a matriz diagonal cujos elementos diagonais são os autovalores \lambda_{1},\lambda_{2},\dots de A.
  • Observação sobre notação: o enunciado usa a forma \;A = M^{-1} D M implicando outra convenção de escrita. Isso é equivalente à forma standard A = P D P^{-1} com P = M ou P = M^{-1} dependendo de como a pessoa tenha montado M. O importante é a relação que permite fatorar A em fator diagonalizável.
Regra útil para potências:
  • Se A = P D P^{-1}, então, por associatividade de matrizes,
A^{k} = (P D P^{-1})^{k} = P D^{k} P^{-1},
onde D^{k} é obtida elevando-se cada entrada da diagonal de D à potência k.

Passo 3

Como calcular D^{k} (explicação elementar).
  • Se
D = \begin{pmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\[4pt] 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0\\[4pt] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[4pt] 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{pmatrix},
então
D^{k} = \begin{pmatrix} \lambda_{1}^{k} & 0 & \cdots & 0\\[4pt] 0 & \lambda_{2}^{k} & \cdots & 0\\[4pt] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[4pt] 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n}^{k} \end{pmatrix}.
  • Ou seja: eleva-se cada autovalor à potência k. Não há mistura entre entradas porque D é diagonal.]

Passo 4

Prova algébrica curta de por que (M^{-1}DM)(M^{-1}DM)=M^{-1}D^{2}M.
  • Multiplicando diretamente:
(M^{-1} D M)(M^{-1} D M) = M^{-1} D \bigl(M M^{-1}\bigr) D M.
  • Como M M^{-1}=I (identidade), isso fica
M^{-1} D I D M = M^{-1} D^{2} M.
  • Observação: a associatividade da multiplicação matricial e a propriedade inversa M M^{-1}=I são os únicos ingredientes usados aqui.

Passo 5

Procedimento prático passo-a-passo para calcular numericamente A^{2},A^{4},A^{10} quando a matriz A estiver disponível.
  1. Resolver o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0 para obter os autovalores \lambda_{1},\dots,\lambda_{n}.
  2. Para cada autovalor \lambda_{i}, encontrar um (ou mais) autovetor v_{i} resolvendo (A-\lambda_{i}I)v_{i}=0.
  3. Montar P (ou M, conforme convenção) cujas colunas são os autovetores v_{i}. Verificar que P é invertível (autovetores linearmente independentes).
  4. Montar D=\operatorname{diag}(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}).
  5. Calcular P^{-1} (ou M^{-1} na sua convenção).
  6. Calcular D^{2},D^{4},D^{10} elevando cada autovalor às potências 2,4,10.
  7. Finalmente obter
A^{2}=P D^{2} P^{-1},\qquad A^{4}=P D^{4} P^{-1},\qquad A^{10}=P D^{10} P^{-1}.
  1. Como checagem, pode-se multiplicar diretamente A\cdot A e comparar com P D^{2} P^{-1} para confirmar que deu certo.

Passo 6

Exemplo numérico completo (ilustrativo) — mostra explicitamente o cálculo e a comparação.
  • Seja, apenas como exemplo, a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.
(Obs.: isto é um exemplo ilustrativo; NÃO é a matriz do exercício 7, que não foi fornecida.)
  1. Autovalores: resolver \det(A-\lambda I)=0.
\det\!\begin{pmatrix}2-\lambda & 1\\[4pt] 1 & 2-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)^{2}-1=\lambda^{2}-4\lambda+3=(\lambda-3)(\lambda-1).
Logo \lambda_{1}=3,\;\lambda_{2}=1.
  1. Autovetores:
  • Para \lambda_{1}=3: resolver (A-3I)v=0 dá autovetor v_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • Para \lambda_{2}=1: resolver (A-1I)v=0 dá autovetor v_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
  1. Montar P e D:
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
  1. Calcular P^{-1}. Determinante de P é -2, portanto
P^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
  1. Calcular A^{2} diretamente:
A^{2}=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}^{2} =\begin{pmatrix}2\cdot2+1\cdot1 & 2\cdot1+1\cdot2\\[4pt]1\cdot2+2\cdot1 & 1\cdot1+2\cdot2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5 & 4\\[4pt]4 & 5\end{pmatrix}.
  1. Calcular A^{2} via diagonalização: A^{2}=P D^{2} P^{-1}.
D^{2}=\begin{pmatrix}3^{2} & 0\\[4pt]0 & 1^{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
P D^{2}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}9 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}9 & 1\\[4pt]9 & -1\end{pmatrix}.
A^{2}=P D^{2} P^{-1}=\begin{pmatrix}9 & 1\\[4pt]9 & -1\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}10 & 8\\[4pt]8 & 10\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5 & 4\\[4pt]4 & 5\end{pmatrix},
que coincide com o cálculo direto (boa checagem!).
  1. Calcular A^{4} e A^{10} no exemplo (mostrando a facilidade):
D^{4}=\begin{pmatrix}3^{4} & 0\\[4pt]0 & 1^{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}81 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
A^{4}=P D^{4} P^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}82 & 80\\[4pt]80 & 82\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}41 & 40\\[4pt]40 & 41\end{pmatrix}.
D^{10}=\begin{pmatrix}3^{10} & 0\\[4pt]0 & 1^{10}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}59049 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
A^{10}=P D^{10} P^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}59050 & 59048\\[4pt]59048 & 59050\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}29525 & 29524\\[4pt]29524 & 29525\end{pmatrix}.
Conclusão do exemplo: a diagonalização torna trivial passar de D para D^{k} e voltar a A^{k} via P(\cdot)P^{-1}. A checagem direta para A^{2} confirmou a igualdade.]

Passo 7

Orientação final aplicada ao seu enunciado real:
  • Se quiser que eu calcule os valores numéricos de A^{2},A^{4},A^{10} para a matriz do exercício 7, envie a própria matriz A (ou envie os autovalores e uma matriz M tal que A=M^{-1}DM). Com esses dados eu aplico exatamente o procedimento explicado acima e mostro cada conta passo a passo, comparando A^{2} calculada diretamente com M^{-1}D^{2}M, do jeitinho que seu professor pediu.

Resposta

Não é possível calcular A^{2},\;A^{4} e A^{10} porque a matriz A (a do exercício 7) não foi fornecida.